《财富公式：玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》里面有这么一段： 申农描述了一种从随机游走中赚钱的方式。他让听众设想有一只 价格不停上下波动的股票，你根本无法预测这只股票的最终趋势。将 资金的一半投到股票上，另外一半投到“现金”账户中。每一天，股 票的价格都会变化。中午的时候，你“重新调整”你的投资组合。也 就是说你预测整个投资组合的现有价值（股票加上现金账户），然后将 资产从股票向现金转移，或者从现金账户转到股票，始终保持原来的 股票和现金各50%的比率。 我们说的更清楚一点：假定你开始的资金是1000 美元，500 美元 购买了股票，另外500 美元是现金。假设第一天股票的价格跌了一半 那么你现在的投资组合就变成了750 美元，250 美元的股票和500 美 元的现金，向现金部分倾斜了。你需要重新调整，从现金账户提出125 美元来购买股票，这样你又会重新回到原有的平衡状态：375 美元的 股票，375 美元的现金。 继续这一做法。第二天，我们假定股票的价格上涨了一倍，375 美元的股票涨到了750 美元。加上现金账户的375 美元，你现在的资 金是1125 美元。这个时候，你需要卖掉部分股票，最后留下562.50 美元的股票和562.50 美元的现金。 我们看看申农计划最后的结果。股市又经历了一次大跌，股票的 价格回到了原点。购买后持票等待的投资者一无所得，而申农的投资 者赚到了125 美元。 这个计划与大多数投资者的本能背道而驰。许多人都愿意把钱留 在一只上涨的股票上，如果股票的价格持续上涨，他们可能会追加更 多的资金。而在申农的体系里，如果股票价格上涨，你卖掉其中的一 部分。同时当股票价格下跌的时候，你要继续往里投资，这看去根本 就是“赔了夫人又折兵”。 我们来看看最终结果。表格下边的线表示的是一只虚拟的股票， 起始价格为一美元，每一次要么价格翻倍，要么下跌一半，概率相等。 这就是几何随机游走，股票价格走向的一种流行模式。它的基本趋势 既不是向上也不是向下，因此，底下的那条线代表的是那些把所有的 资金都投到股票上（假定没有分红）然后持票观望的投资者的资金状 况。
现实中，不会像书中的例子那么夸张（要么翻倍，要么腰斩） 所以，我拿上证指数周线来验证一下。 为了便于观察，我从早期的一个接近1000点整数位置的地方开始，1992/8/7 收盘1005.23 同时，假设我最初投入的资金同指数一样，是1005.23(你可以假设任意单位，比如万元，不要考虑交易单位的去整问题，对于基金的几十亿来说这个问题不是问题) 下面是依照这个原则操作的情况(我把大部分细节都隐藏了， 只保留了高点、地点、回到最初位置、翻倍、翻两倍等情况) f= 0.5 日期 上证收盘 市值 股数 股票市值 现金 1992/8/7 1005.23 1005.23 0.5 502.615 502.615 1992/10/30 507.25 722.7362492 0.712406357 361.3681246 361.3681246 1992/11/20 401.44 644.6877274 0.802968971 322.3438637 322.3438637 1993/6/4 1004.3 1096.527044 0.545916083 548.263522 548.263522 1993/6/18 1005.98 1097.900822 0.545687201 548.9504109 548.9504109 1994/7/29 333.92 645.2103621 0.96611518 322.605181 322.605181 1996/10/25 1012.67 1267.222472 0.625683822 633.6112358 633.6112358 2000/7/28 2012.79 1856.074969 0.461070198 928.0374844 928.0374844 2005/7/8 1017.98 1351.122384 0.66362914 675.561192 675.561192 2006/11/24 2050.81 1931.78404 0.470980744 965.8920198 965.8920198 2007/5/11 4021.65 2726.705102 0.339003282 1363.352551 1363.352551 2007/10/12 5903.25 3318.910458 0.28110875 1659.455229 1659.455229 2008/3/14 3962.65 2736.326593 0.345264734 1368.163296 1368.163296 2008/10/10 2000.57 1974.91925 0.49358914 987.459625 987.459625 2008/12/5 2018.66 1991.880711 0.493367063 995.9403556 995.9403556 2012/9/21 2026.69 2043.329377 0.504105062 1021.664688 1021.664688 2012/10/19 2128.3 2094.196979 0.491988202 1047.098489 1047.098489 从上面的数据可以看出： 1. 指数大幅上涨的情况，市值跑不过指数。 这是一定的，半仓就想跑盈大幅上涨的指数，那是做梦。 2. 每次指数达到同样的位置，市值都比上一次多一点(尽管不是特别多) 3. 最终指数涨幅111.72%， 而市值上涨了108.33%， 尽管落后一些，但对于半仓来说比想象中的好太多了。(如果虑现金部分还应该获得一定的无风险收益，那么实际上是跑盈指数的)
我的数据最上方有个f, 这个值表示持仓百分比。 下面看看f对结果的影响： 1. 要想在指数最高点获得最大的收益，毫无疑问，应该满仓，即f=1.0 2. 要想在指数最低点损失最小，毫无疑问，应该空仓，即f=0 3. 指数回到最初的1000点附近时， 表现最好的f值是0.5左右, 即半仓。 4. 要使最终日期(指数经过20年翻了一番)的结果收益最大， 仓位f大致在0.75附近。 5. 理论上预期一定的时间内涨幅越大，f值就应该越大。
不过， 由这个例子，我似乎感觉到会产生一个悖论： 我们把上面的操作结果当作一只运作的基金(基金A)， 这只基金在大盘经过了一定的时间后回到了原点时，这只基金跑盈了指数。 而我们同样可以把这只基金A的净值当作上面的上证指数来同样运作，这样会产生另一只基金(基金B), 可以预料到， 经过同样的时间段，基金B跑盈了基金A。 同样的， 由此能产生出基金C,D..., 每一只基金都比上一只基金的表现要好。但实际上每一只基金的实际仓位都只有上一只基金的一半， 这样无限下去，最终基金的实际仓位会无限趋向于0。 一只无限趋向0仓位的基金能大幅跑盈指数？ 这个悖论在哪里出问题了？
不过， 由这个例子，我似乎感觉到会产生一个悖论： 我们把上面的操作结果当作一只运作的基金(基金A)， 这只基金在大盘经过了一定的时间后回到了原点时，这只基金跑盈了指数。 而我们同样可以把这只基金A的净值当作上面的上证指数来同样运作，这样会产生另一只基金(基金B), 可以预料到， 经过同样的时间段，基金B跑盈了基金A。 同样的， 由此能产生出基金C,D..., 每一只基金都比上一只基金的表现要好。但实际上每一只基金的实际仓位都只有上一只基金的一半， 这样无限下去，最终基金的实际仓位会无限趋向于0。 一只无限趋向0仓位的基金能大幅跑盈指数？ 这个悖论在哪里出问题了？ 这是一个极限问题，并非悖论！基金的规模是一递减的等比数列，所有基金规模的总和接近A基金的2倍
这个问题仍然让我困惑，想了一天，初步有个想法： 这种“要么损失一半，要么翻倍，各自概率0.5”的运动模式，并非真正0期望的。 粗浅的想，如果我有1个单位的资金，如果亏了就损失0.5单位，如果赚了就赚得1单位，各自概率还是0.5，看起来就是赚的比赔得多。 我无法严格验证，所以做了个简单的模特卡罗。主要代码： x=[];for i=1:1000; x(i)=prod(0.5+1.5*(rand(1,1000)>0.5)); end; 意思是：用0.5和2构成一个1000单位的随机序列，其乘机表示经过1000次起伏的最终结果。这样的过程再进行1000次，每次的结果记入x(i)，最后看1000次的平均结果如何。 如果果真是0期望的，那么这个均值的期望是1，实际结果应该比较发散，既有远大于1的，也有远小于1的。但是我实际运行10次的结果为： 3.3936e+026 1.2742e+027 8.7521e+022 1.2981e+030 2.5353e+028 1.3292e+033 2.077e+031 6.6713e+027 8.6281e+028 2.029e+028 这时一个比较稳定的，而且很大的正值。运行更多次，结果也差不多。 所以我据此猜测，这个过程本身就是正期望的。至于原因，还是感到很困惑。我猜测，可能因为期望的定义就是求和的，只适合处理算数平均，不适合处理几何平均。