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有谁知道面试quant，需要考数学，主要考哪些部分？

 

金融数学简介
Prince 发表于 2006-10-22 12:48:00
金融数学简介

金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具 研究金融，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析，以求找到金融学内在规律并用以指导实践。金融数学也可以理解为现代数学与计算技术在金融领域的应用，因此，金融数学是一门新兴的交*学科，发展 很快，是目前十分活跃的前言学科之一。

金融数学是一门新兴学科，是“金融高技术 ”的重要 组成部分。研究金融数学有着重要的意义。

金融数学总的研究目标是利用我国数学界某些方面的优势，围绕金融市场的均衡与有价证券定价的数学理论进行深入剖析，建立适合我国国情的数学模型，编写一定的计算机软件，对理论研究结果进行仿真计算，对实际数据进行计量经济分析研究，为实际金融部门提供较深入的技术分析咨询。

主要的研究内容和拟重点解决的问题包括：

(1)有价证券和证券组合的定价理论

发展有价证券（尤其是期货、期权等衍生工具）的定价理论。所用的数学方法主要是提出合适的随机微分方程或随机差分方程模型，形成相应的倒向方程。建立相应的非线性Feynman一Kac公式，由此导出非常一般的推广的Black一Scho1es定价公式。所得到的倒向方程将是高维非线性带约束的奇异方程。

研究具有不同期限和收益率的证券组合的定价问题。需要建立定价与优化相结合的数学模型，在数学工具的研究方面，可能需要随机规划、模糊规划和优化算法研究。

在市场是不完全的条件下，引进与偏好有关的定价理论。

(2）不完全市场经济均衡理论（GEI）

拟在以下几个方面进行研究：

1．无穷维空间、无穷水平空间、及无限状态

2.随机经济、无套利均衡、经济结构参数变异、非线资产结构

3．资产证券的创新（Innovation）与设计（Design）

4．具有摩擦（Friction）的经济

5．企业行为与生产、破产与坏债

6.证券市场博奕。

（3）GEI 平板衡算法、蒙特卡罗法在经济平衡点计算中的应用， GEI的理论在金融财政经济宏观经济调控中的应用，不完全市场条件下，持续发展理论框架下研究自然资源资产定价与自然资源的持续利用。
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数学一样成为任何一门科学发展过程中的必备工具。美国花旗银行副总裁柯林斯（Collins）1995年3月6日在英国剑桥大学牛顿数学科学研究所的讲演中叙述到：“在18世纪初，和牛顿同时代的著名数学家伯努利曾宣称：‘从事物理学研究而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西。’那时候，这样的说法对物理学而言是正确的，但对于银行业而言不一定对。在18世纪，你可以没有任何数学训练而很好地运作银行。过去对物理学而言是正确的说法现在对于银行业也正确了。于是现在可以这样说：‘从事银行业工作而不懂数学的人实际上处理的是意义不大的东西’。”他还指出：花旗银行70%的业务依赖于数学，他还特别强调，‘如果没有数学发展起来的工和技术，许多事情我们是一点办法也没有的……没有数学我们不可能生存。”这里银行家用他的经验描述了数学的重要性。在冷战结束后，美国原先在军事系统工作的数以千的科学家进入了华尔街，大规模的基金管理公司纷纷开始雇佣数学博士或物理学博士。这是一个重要信号：金融市场不是战场，却远胜于战场。但是市场和战场都离不开复杂艰深，迅速的计算工作。然而在国内却不能回避这样一个事实：受过高等教育的专业人士都可以读懂国内经济类、金融类核心期刊，但国内金融学专业的本科生却很难读懂本专业的国际核心期刊《Journal of Finance》，证券投资基金经理少有人去阅读《Joural of Portfolio Management》，其原因不在于外语的熟练程度，而在于内容和研究方法上的差异，目前国内较多停留在以描述性分析为主着重描述金融的定义，市场的划分及金融组织等，或称为描述金融；而国外学术界以及实务界则以数量性分析为主，比如资本资产定价原理，衍生资产的复制方法等，或称为分析金融，即使在国内金融学的教材中，虽然涉及到了标的资产（Underlying asset）和衍生资产（Derivative asset）定价，但对公式提出的原文证明也予以回避，这种现象是不合理的，产生这种现象的原因有如下几个方面：首先，根据研究方法的不同，我国金融学科既可以归到我国哲学社会科学规划办公室，也可以归到国家自然科学基金委员会管理科学部，前者占主要地位，且这支队伍大多来自经济转轨前的哲学和政治学队伍，因此研究方法多为定性的方法。而西方正好相反，金融研究方向的队伍具有很好的数理功底。其次是我国的金融市场的实际环境所决定。我国证券市场刚起步，也没有一个统一的货币市场，投资者队伍主要由中小投资者构成，市场投机成分高，因此不会产生对现代投资理论的需求，相应地，学术界也难以对此产生研究的热情。然而数学技术以其精确的描述，严密的推导已经不容争辩地走进了金融领域。自从1952年马柯维茨（Markowitz）提出了用随机变量的特征变量来描述金融资产的收益性，不确定性和流动性以来，已经很难分清世界一流的金融杂志是在分析金融市场还是在撰写一篇数学论文。再回到Collins的讲话，在金融证券化的趋势中，无论是我们采用统计学的方法分析历史数据，寻找价格波动规律，还是用数学分析的方法去复制金融产品，谁最先发现了内在规律，谁就能在瞬息万变的金融市场中获取高额利润。尽管由于森严的进入堡垒，数学进入金融领域受到了一定的排斥和漠视，然而为了追求利润，未知的恐惧显得不堪一击。于是，在未来我们可以想象有这样一个充满美好前景的产业链：金融市场--金融数学--计算机技术。金融市场存在巨大的利润和高风险，需要计算机技术帮助分析，然而计算机不可能大概，左右等描述性语言，它本质上只能识别由0和1构成的空间，金融数学在这个过程中正好扮演了一个中介角色，它可以用精确语言描述随机波动的市场。比如，通过收益率状态矩阵在无套利的情形下找到了无风险贴现因子。因此，金融数学能帮助IT产业向金融产业延伸，并获取自己的利润空间

 

B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件
[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设　
　　1、股票价格行为服从对数正态分布模式；

　　2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；

　　3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；

　　4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；

　　5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。

　　6、不存在无风险套利机会；

　　7、证券交易是持续的；

　　8、投资者能够以无风险利率借贷。

[编辑](二)荣获诺贝尔经济学奖的B-S定价公式
　　C = S * N(d1) − Le − rTN(d2)　

　　其中:

　　

　　

　　C—期权初始合理价格　

　　L—期权交割价格

　　S—所交易金融资产现价

　　T—期权有效期

　　r—连续复利计无风险利率H

　　σ2—年度化方差

　　N()—正态分布变量的累积概率分布函数 ，在此应当说明两点：

　　第一，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年复利一次，而r要求利率连续复利。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为:r = ln(1 + r0)或r0=Er-1。例如r0=0.06，则r=ln(1+0.06)=0853，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。　

　　第二，期权有效期T的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则。　

[编辑]B-S定价模型的推导与运用
　　(一)B-S模型的推导B-S模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:

　　E[G] = E[max(St − L,O)]

　　其中，E[G]—看涨期权到期期望值

　　St—到期所交易金融资产的市场价值

　　L—期权交割(实施)价

　　到期有两种可能情况:

　　1、如果St > L，则期权实施以进帐(In-the-money)生效，且max(St − L,O) = St − L

　　2、如果St < L，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(Out-of-the-money)失效，且有:

　　max(St − L,O) = 0

　　从而:

　　

　　其中：(St > L)的概率E[St | St > L]：既定(St > L)下St的期望值将E[G]按有效期无风险连续复利rT贴现，得期权初始合理价格:

　　C = Pe − rT(E[St | St > L] − L)这样期权定价转化为确定P和E[St | St > L]。

　　首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(St)与现价(S)比值的对数值，即收益 = lnSt / S = ln(St / L)。由假设1收益服从对数正态分布，即ln(St / L)～，所以E[lN(St / S] = μt，St / S～可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:E[St / S] = eμt + σ2T2 = eeT从而，μt = T(r − σ2)，且有σt = σT

　　其次，求(St > L)的概率P，也即求收益大于(LS)的概率。已知正态分布有性质r06[ξ > x] = 1 − N(x − μσ)其中:

　　ζ：正态分布随机变量

　　x：关键值

　　μ：ζ的期望值

　　σ：ζ的标准差

　　所以 = Pr06[St > 1] = Pr06[lnSt / s] > lnLS = :LN − lnLS − (r − σ2)TσTnc4 由对称性:1 − N(d) = N( − d)P = NlnSL + (r − σ2)TσTarS。

　　第三，求既定St > L下St的期望值。因为E[St | St > L]处于正态分布的L到∞范围，所以，

　　E[St | St] > = SerTN(d1)N(d2)

　　其中:

　　

　　最后，将P、E[St | St] > L]代入(C = Pe − rT(E[St | St > L] − L))式整理得B-S定价模型:C = SN(d1) − Le − rTN(d2)

　　(二)看跌期权定价公式的推导

　　B-S模型是看涨期权的定价公式，根据售出—购进平价理论(Put-callparity)可以推导出有效期权的定价模型，由售出—购进平价理论，购买某股票和该股票看跌期权的组合与购买该股票同等条件下的看涨期权和以期权交割价为面值的无风险折扣发行债券具有同等价值，以公式表示为:

　　S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T

　　移项得:

　　Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) − T − S，

　　将B-S模型代入整理得:

　　

　　此即为看跌期权初始价格定价模型。

　　(三)B-S模型应用实例

　　假设市场上某股票现价S为　164，无风险连续复利利率γ是0.0521，市场方差σ2为0.0841，那么实施价格L是165，有效期T为0.0959的期权初始合理价格计算步骤如下:

　　①求d1:

　　=0.0328

　　②求d2:

　　

　　③查标准正态分布函数表，得:N(0.03)=0.5120　N(-0.06)=0.4761

　　④求C:

　　C=164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.4761=5.803

　　因此理论上该期权的合理价格是5.803。如果该期权市场实际价格是5.75，那么这意味着该期权有所低估。在没有交易成本的条件下，购买该看涨期权有利可图。

[编辑]B-S模型的发展、股票分红
　　B-S模型只解决了不分红股票的期权定价问题，默顿发展了B-S模型，使其亦运用于支付红利的股票期权。

　　(一)存在已知的不连续红利假设某股票在期权有效期内某时间t(即除息日)支付已知红利Dt，只需将该红利现值从股票现价S中除去，将调整后的股票价值S′代入B-S模型中即可:S' = S − Dte − rT。如果在有效期内存在其它所得，依该法一一减去。从而将B-S模型变型得新公式:

　　

　　(二)存在连续红利支付是指某股票以一已知分红率(设为δ)支付不间断连续红利，假如某公司股票年分红率δ为0.04，该股票现值为164，从而该年可望得红利164×004=　6.56。值得注意的是，该红利并非分4季支付每季164；事实上，它是随美元的极小单位连续不断的再投资而自然增长的，一年累积成为6.56。因为股价在全年是不断波动的，实际红利也是变化的，但分红率是固定的。因此，该模型并不要求红利已知或固定，它只要求红利按股票价格的支付比例固定。

　　在此红利现值为:S(1-E-δT)，所以S′=S•E-δT，以S′代S，得存在连续红利支付的期权定价公式:C=S•E-δT•N(D1)-L•E-γT•N(D2)

[编辑]B-S模型的影响
　　自B-S模型1973年首次在政治经济杂志(Journalofpo Litical Economy)发表之后，芝加哥期权交易所的交易商们马上意识到它的重要性，很快将B-S模型程序化输入计算机应用于刚刚营业的芝加哥期权交易所。该公式的应用随着计算机、通讯技术的进步而扩展。到今天，该模型以及它的一些变形已被期权交易商、投资银行、金融管理者、保险人等广泛使用。衍生工具的扩展使国际金融市场更富有效率，但也促使全球市场更加易变。新的技术和新的金融工具的创造加强了市场与市场参与者的相互依赖，不仅限于一国之内还涉及他国甚至多国。结果是一个市场或一个国家的波动或金融危机极有可能迅速的传导到其它国家乃至整个世界经济之中。我国金融体制不健全、资本市场不完善，但是随着改革的深入和向国际化靠拢，资本市场将不断发展，汇兑制度日渐完善，企业也将拥有更多的自主权从而面临更大的风险。因此，对规避风险的金融衍生市场的培育是必需的，对衍生市场进行探索也是必要的，我们才刚刚起步。

[编辑]对B-S模型的检验､批评与发展
　　B-S模型问世以来，受到普遍的关注与好评，有的学者还对其准确性开展了深入的检验。但同时，不少经济学家对模型中存在的问题亦发表了不同的看法，并从完善与发展B-S模型的角度出发，对之进行了扩展。

　　1977年美国学者伽莱(galai)利用芝加哥期权交易所上市的股票权的数据，首次对布-肖模型进行了检验。此后，不少学者在这一领域内作了有益的探索。其中比较有影响的代表人物有特里皮(trippi)､奇拉斯(chiras)､曼纳斯特(manuster)､麦克贝斯(macbeth)及默维勒(merville)等。综合起来，这些检验得到了如下一些具有普遍性的看法：

　　1.模型对平值期权的估价令人满意，特别是对剩余有效期限超过两月，且不支付红利者效果尤佳。

　　2.对于高度增值或减值的期权，模型的估价有较大偏差，会高估减值期权而低估增值期权。

　　3.对临近到期日的期权的估价存在较大误差。

　　4.离散度过高或过低的情况下，会低估低离散度的买入期权，高估高离散度的买方期权。但总体而言，布-肖模型仍是相当准确的，是具有较强实用价值的定价模型。

　　对布-肖模型的检验着眼于从实际统计数据进行分析，对其表现进行评估。而另外的一些研究则从理论分析入手，提出了布-肖模型存在的问题，这集中体现于对模型假设前提合理性的讨论上。不少学者认为，该模型的假设前提过严，影响了其可靠性，具体表现在以下几方面：

　　首先，对股价分布的假设。布-肖模型的一个核心假设就是股票价格波动满足几何维纳过程，从而股价的分布是对数正态分布，这意味着股价是连续的。麦顿(merton)､考克斯(cox)､罗宾斯坦(robinstein)以及罗斯(ross)等人指出，股价的变动不仅包括对数正态分布的情况，也包括由于重大事件而引起的跳起情形，忽略后一种情况是不全面的。他们用二项分布取代对数正态分布，构建了相应的期权定价模型。

　　其次，关于连续交易的假设。从理论上讲，投资者可以连续地调整期权与股票间的头寸状况，得到一个无风险的资产组合。但实践中这种调整必然受多方面因素的制约：1.投资者往往难以按同一的无风险利率借入或贷出资金；2.股票的可分性受具体情况制约；3.频繁的调整必然会增加交易成本。因此，现实中常出现非连续交易的情况，此时，投资者的风险偏好必然影响到期权的价格，而布-肖模型并未考虑到这一点。

　　再次，假定股票价格的离散度不变也与实际情况不符。布莱克本人后来的研究表明，随着股票价格的上升，其方差一般会下降，而并非独立于股价水平。有的学者(包括布莱克本人)曾想扩展布-肖模型以解决变动的离散度的问题，但至今未取得满意的进展。

　　此外，不考虑交易成本及保证金等的存在，也与现实不符。而假设期权的基础股票不派发股息更限制了模型的广泛运用。不少学者认为，股息派发的时间与数额均会对期权价格产生实质性的影响，不能不加以考察。他们中有的人对模型进行适当调整，使之能反映股息的影响。具体来说，如果是欧洲买方期权，调整的方法是将股票价格减去股息(d)的现值替代原先的股价，而其他输入变量不变，代入布-肖模型即可。若是美国买方期权，情况稍微复杂。第一步先按上面的办法调整后得到不提早执行情况下的价格。第二步需估计在除息日前立即执行情况下期权的价格，将调整后的股价替代实际股价，距除息日的时间替代有效期限､股息调整后的执行价格(x-d)替代实际执行价格，连同无风险利率与股价离散度等变量代入模型即可。第三步选取上述两种情况下期权的较大值作为期权的均衡价格。需指出的是，当支付股息的情况比较复杂时，这种调整难度很大。

 

D1-D2

 

D2

 

我根本就不认为交易是一门可被定义的科学，因为无论用多么高深的理论或算法，都是为了证明一个方向的确定性，而基于历史数据的这种确定性一旦具备统计优势，必然有另一股力量反向利用这种统计优势使确定性重新变得不确定（如：“乌龟”与“龟汤”）。问题是：从什么时候开始，总共分布了多大的反向力量只有上帝才知道。

 

我计算机出身，在此弱弱地的问一个最基本的问题，我每天去办公室要坐电梯，14楼，楼里面两部电梯，右边的总坏，在过去的两年里我已经看到他停工了20次，那么他的出故障的几率应该约是20/700,那么我就知道，在未来的两年中，我可能碰上这部电梯故障20次，平均35天一次。

而我总是尽可能避免使用右边的电梯，因为我有个问题解决不了，就是我怎么能知道这3%概率的事件什么时候发生呢？？这种35天一遇的风险会在哪天到来呢？

长期资本管理公司的模型面对的风险是百年一遇，但是这种风险在五年中就出现了两次，估计也是跟我面对的是同样的问题。

如果这个问题没有解，那么以这种统计和概率为基础的quant怎么面对这种问题呢。