覺得自己數學半桶水的可以看看。 碰到專業論文里一堆公式看不懂的可以看看。 覺得網上維基解釋太簡潔的可以看看。 純文科生可以看看。 人教版 新课标教材 高中數學B版： http://www.pep.com.cn/gzsxb/jszx/xkbsyjc/dzkb/bx1/ 人教版 新课标教材 高中數學A版： http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx/xkbsyjc/dzkb/bx1/ PDF下載： http://iask.sina.com.cn/u/1045752015/ish?folderid=17628 據說A版和B版是不同組編寫的，整體大綱接近，但具體的表述則各自發揮。偶覺得A版羅嗦了一些，更強調趣味性；B版更有條理，有給出詳細的證明。所以個人推薦B版。
必修一 扉页 编写人员 主编寄语 本册导引 第一章 集合 1．1 集合与集合的表示方法 1．2 集合之间的关系与运算 本章小结 阅读与欣赏 聪明在于学习，天才由于积累──自学成才的华罗庚 第二章 函数 2．1 函数 2．2 一次函数和二次函数 2．3 函数的应用（Ⅰ） 2．4 函数与方程 本章小结（1） 阅读与欣赏 函数概念的形成与发展 第三章 基本初等函数（Ⅰ） 3．1 指数与指数函数 3．2 对数与对数函数 3．3 幂函数 3．4 函数的应用（Ⅱ） 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 对数的发明 对数的功绩 附录1 科学计算自由软件──SCILAB简介 附录1 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 必修二 扉页 编写人员 本册导引 第一章 立体几何初步 1．1 空间几何体 实习作业 1．2 点、线、面之间的位置关系 本章小结 阅读与欣赏 第二章 平面解析几何初步 2．1 平面真角坐标系中的基本公式 2．2 直线方程 2．3 圆的方程 2．4 空间直角坐标系 本章小结 阅读与欣赏 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 必修三 扉页 本册导引 第一章 算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 中国古代数学中的算法案例 本章小结 阅读与欣赏 附录 参考程序 第二章 统计 2．1 随机抽样 2．2 用样本估计总体 2．3 变量的相关性 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 附录 随机数表 第三章 概率 3．1 随机现象 3．2 古典概型 3．3 随机数的含义与应用 3．4 概率的应用 本章小结 阅读与欣赏 后记 =============================== 必修四 扉页 编写人员 本册导引 第一章 基本初等函(Ⅱ) 1．1 任意角的概念与弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的图象与性质 数学建模活动 本章小结 阅读与欣赏 第二章 平面向量 2．1 向量的线性运算 2．2 向量的分解与向量的坐标运算 2．3 平面向量的数量积 2．4 向量的应用 本章小结 阅读与欣赏 第三章 三角恒等变换 3．1 和角公式 3．2 倍角公式和半角公式 3．3 三角函数的积化和差与和差化积 本章小结 阅读与欣赏 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 必修五 扉页 版权 导引 第一章 解直角三角形 1．1 正弦定理和余弦定理 1．2 应用举例 实习作业 本章小结 阅读与欣赏 第二章 数列 2．1 数列 2．2 等差数列 2．3 等比数列 本章小结 阅读与欣赏 第三章 不等式 3．1 不等关系与不等式 3．2 均值不等式 3．3 一元二次不等式及其解法 3．4 不等式的实际应用 3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 本章小结 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修1－1 扉页 版权 本册导引 第一章 常用逻辑用语 1．1 命题与量词 1．2 基本逻辑联结词 1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 本章小结 阅读与欣赏 第二章 圆锥曲线与方程 2．1 椭圆 2．2 双曲线 2．3 抛物线 本章小结 阅读与欣赏 第三章 导数及其应用 3．1 导数 3．2 导数的运算 3．3 导数的应用 本章小结 阅读与欣赏 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修1－2 扉页 编写人员 版权页 本册导引 目录 第一章 统计案例 1.1 独立性检验 1.2 回归分析 本章小结 阅读与欣赏 “回归”一词的由来 附表 相关性检验的临界值表 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 2.1.2 演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法 2.2.2 反证法 本章小结 阅读与欣赏 《原本》与公理化思想 数学证明的机械化——机器证明 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的引入 3.2 复数的运算 3.2.1 复数的加法和减法 3.2.2 复数的乘法和除法 本章小结 阅读与欣赏 复平面与高斯 第四章 框图 4.1 流程图 4.2 结构图 本章小结 阅读与欣赏 冯·诺伊曼 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修2-1 扉页 本册引导 编写人员 版权页 目录 第一章 常用逻辑用语 1.1 命题与量词 1.1.1 命题 1.1.2 量词 1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或” 1.2.2 “非”（否定） 1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式 1.3.1 推出与充分条件、必要条件 本章小结 阅读与欣赏 什么是数理逻辑 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程 2.1.1 曲线与方程的概念 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2 椭圆 2.2.1 椭圆的标准方程 2.2.2 椭圆的几何性质 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线的标准方程 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程 2.4.2 抛物线的几何性质 2.5 直线与圆锥曲线 本章小结 阅读与欣赏 圆锥面与圆锥曲线 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.3 两个向量的数量积 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量 3.2.5 距离（选学） 本章小结 阅读与欣赏 向量的叉积及其性质 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修2-2 版权页 编写内容 本册引导 目录 第一章 导数及其应用 1.1 导数 1.1.1 函数的平均变化率 1.1.2 瞬时速度与导数 1.1.3 导数的几何意义 1.2 导数的运算 1.2.1 常数函数与冥函数的导数 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用 1.2.3 导数的四则运算法则 1.3 导数的应用 1.3.1 利用导数判断函数的单调性 1.3.2 利用导数研究函数的极值 1.3.3 导数的实际应用 1.4 定积分与微积分基本定理 1.4.1 曲边梯形面积与定积分 1.4.2 微积分基本定理 本章小结 阅读与欣赏 微积分与极限思想 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理 2.1.2 演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法与分析法 2.2.2 反证法 2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法 2.3.2 数学归纳法应用举例 本意小结 阅读与欣赏 《原本》与公理化思想 第三章 数系的扩充与复数 3.1 数系的扩充与复数的概念 3.1.1 实数系 3.1.2 复数的概念 3.1.3 复数的几何意义 3.2 复数的运算 3.2.1 复数的加法与减法 3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法 本章小节 阅读与欣赏 复平面与高斯 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修2-3 扉页 本册导引 版权页 目录 编写人员 第一章 计数原理 1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 1.2.2 组合 1.3 二项式定理 1.3 二项式定理 1.3.2 杨辉三角 本章小结 第二章 概率 2.1 离散型随机变量及其分布列 2.1.1 离散型随机变量 2.1.2 离散型随机变量的分布列 2.1.3 超几何分布 2.2 条件概率与事件的独立性 2.2.1 条件概率 2.2.2 事件的独立性 2.2.3 独立重复试验与二项分布 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望 2.3.2 离散型随机变量的方差 2.4 正态分布 本章小结 阅读与欣赏 关于“玛丽莲问题”的争论 第三章 统计案例 3.1 独立性检验 3.2 回归分析 本章小结 阅读与欣赏 “回归”一词的由来 附表 附录 部分中英文词汇对照表 后记 =============================== 选修4－5 扉页 编写人员 本册导引 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法 1．2 基本不等式 1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法 本章小结 第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2．1 柯西不等式 2．2 排序不等式 2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型 本章小结 阅读与欣赏 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3．1 数学归纳法原理 3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式 本章小结 阅读与欣赏 附录 部分中英文词汇对照表 后记
# 一个书目及一些零散文章 # 数学分析-高等代数-解析几何 # 高等代数-线性代数-常微分方程-单复变函数 # 单复变函数-组合基础-抽象代数 # 抽象代数-实变函数论与范涵分析 # 实变函数论与范涵分析-数学物理方程-拓扑学 # 微分几何-微分流形-参考书目补 # 参考书目阶段性总结 发表于： 2003/09/26 08:11pm [这个贴子最后由gauss在 2003/09/27 09:14am 编辑] 关于自学数学(一) 现代数学的一大特色即是已经 完全建立了一套自己的表达方式. 没有一个学科象数学这样创造了 这么多的概念. 现代数学的传播的一大困难也在 与此,要向一个非本行(哪怕是 数学里另外一个分支的专家)解释 清楚一个概念恐怕也要费上半天口舌. 但在另外一方面数学是如此有用, 而且数学的抽象性使得一个数学 观点往往可以表征其它学科的许多 看似毫无关系的对象.所以现代数学 还是挺值得一学的. 自学不是一件容易的事情,特别是自学数学. 从动机上说,如果是想系统学一下大学数学系 的课程的话.我的建议还是跟班听课,这比自己 找书看要省力的多.在可以考虑的书籍方面, 以前上海科技出版社出过一套 1."大学数学自学丛书" 应当说编得是不错的. 至于具体该怎么学,这里我不敢多说,建议参考 2.赵慈庚,朱鼎勋 "大学数学自学指南" 赵先生是上面那套书的主编,这本书基本上 以上面那套书为蓝本,也给出了一些参考书. 关键是对每一门课的具体内容都有一个详细说明. 好象是高等教育出的. -- 数学分析-高等数学(一) 从数学分析的课本讲起吧. 复旦自己的课本应该可以从 六十年代上海科技出的算起 (指正式出版),那本书在香港 等地翻印后反应据说非常好, 似乎丘成桐先生做学生的时候 也曾收益与此. 到90年代市面上还能看到的课本 里面,有一套陈传璋先生等编的, 可能就是上面的书的新版,交大的 试点班有几年就拿该书做教材. 另外有上海科技版的欧阳光中(谷先生 的连襟),秦曾复,朱学炎三位编的 课本,好象后来数学系不用了, 计算机系倒还在用.那本书里面 据说积分的第二中值定理的陈述 有点小错. 总的说来,这些书里面都可以看到 一本书的影子,就是 菲赫今哥尔茨的"数学分析原理", 其原因,按照秦老师的说法,是最初 在搞教材建设的时候,北大选的"模本" 是辛钦的"数学分析简明教程", 而复旦则选了"数学分析原理". 后来自然有欧阳先生和姚允龙老师的 那本数学分析.我不否认那是一种尝试, 但是感觉上总有点别扭.以比较新的观点 来看数学分析这样经典的内容在国际上 的确是一种潮流,但是从这个意义上说 该书做得并不是非常好.而且从整体的 课程体系上说,在后面有实变函数这样 一门课的情况下是否有必要引入Lebesgue 积分值得商榷. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:12pm [这个贴子最后由gauss在 2003/09/27 09:15am 编辑] 数学分析-高等数学(二) 下面开始讲一些课本,或者说参考书: 1.菲赫今哥尔茨 "微积分学教程","数学分析原理". 前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本; 后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本. 此书堪称经典. "微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者 列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括 后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch) 都承认不太合适作为教材,为此他才给出了 能够做教材的后一套书,可以说是一个 精简的版本(有所补充的是在最后给出了 一个后续课程的简介). 相信直到今天,很多老师在开课的时候 还是会去找"微积分学教程",因为里面 的各种各样的例题实在太多了.如果想 比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的 例题当做有答案的习题来做,当然不是每道 题都可以这么办的.如果你全部做完了 那里的题目然后考试的时候碰到你做过的 可别怪我. 毫无疑问,这套书代表了以古典的方式 处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念) 的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万 计,可能在世界范围内也只有Goursat的书可以与之相比了. 这两套书在理图里面都有. 2.Apostol "Mathematical Analysis" 在西方(西欧和美国),这应该算得上是 一本相当完整的课本了,在总书库里面 有. 3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis" (有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有) 这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到, 这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法, (指一些符号,术语的运用)也是很好的. 这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是 后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学", 虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里 想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的 ddmm有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以 找一本西方advanced calculus水平的书来看, 基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师 曾特别指出Rudin的书. 说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是 可以一看的,就是 L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus, 其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图 外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚. 这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的 课本. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:12pm [这个贴子最后由gauss在 2003/09/27 09:15am 编辑] 数学分析-高等数学(三) 4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 "数学分析习题集","数学分析习题课教材". 北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西 还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇 并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题 (一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的 习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的, 原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数 收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就 要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也 是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答, 96年那会理图里面有一本,现在不知道怎么样了. 5.克莱鲍尔"数学分析" 记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错. 理图里有. 6.张筑生"数学分析新讲"(共三册) 我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本, 张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多 五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的 是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都 云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的 处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的 遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根 本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看. 理图里有. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:13pm [这个贴子最后由gauss在 2003/09/27 09:17am 编辑] Re: 数学分析-高等数学(四) : 下面的一些书可能是比较"新颖"的. : 7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)" : 理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于 : 80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说, : 人家是苏联科学院院士. : 7b."数学分析" : 忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材. : 理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限 : 的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉 : 到观点非常的"高". 没记错的话,应该是E.卓里奇 : 8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)" : 那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷, : 用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再 : 回过头来看感觉会更好一些. 可惜这套书只有一二卷有翻译 : 9.说两句关于非数学专业的高等数学. : 这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书. : 因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生, : 中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不 : 分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有 : J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫 : "普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题), : 其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课 : 之间. 另外,我记得徐利治有一本数学分析中的方法什么的书很好,不厚,名字 不记得啦. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:15pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: Re: 数学分析-高等数学(五) 发信站: 日月光华站 (Sat Jan 15 16:26:09 2000), WWW-POST@129.104.34.3 有道理. 【 在 dhj (dhj2000) 的大作中提到: 】 稍微补充一点： 理图一楼东室靠中间的地方 有一套《数学分析中的定理和习题》 玻利亚 著，上下两本。 这本书里的习题有一定难度，而且很有 启发性。去年袁小平老师向我们推荐的。 : : 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : : 10.再补充一个技术性的小问题.对于函数项级数收敛, : : 一致收敛是充分而非必要的,有一个充要条件叫 : : "亚一致收敛性",在"微积分学教程"里面提了一句, : : 其详细讨论,似乎仅见于 : : 鲁金(Lusin)的"实变函数论" : : 里面,总书库里面有. : : 11.华罗庚先生的"高等数学引论"第一卷 : : 这套书(其实没有完成最初的计划)是六十年代初 : : 华先生在王元先生的辅助下对科大学生开课时 : : 的讲义.那时候他们做过一个实验,就是一个教授 : : 负责一届学生的教学,所以华先生这书里面其实 : : 是涉及很多方面的(附带提一句,另外两位负责过一 : : 届学生的是关肇直先生和吴文俊先生).也是出于 : : 一种尝试吧,华先生这书里面有一些不属于传统 : : 教学内容的东西,还包括一些应用.可以一读. : : 理图里有. : : 12.何琛,史济怀,徐森林 : : "数学分析" : : 这应该是科大的教材,虽然好象影响不是很大, : : 我本人还是很喜欢的,高一的时候第一次学数分 : : 就是用的这套书,感觉是条理清晰,配的习题也很好. : : 印刷质量也相当不错.可惜的是学校里面没有,所以 : : 放在最后. : : -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:15pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学分析-高等数学(补) 发信站: 日月光华站 (Sat Jan 15 16:25:27 2000), WWW-POST@129.104.34.3 关于数学分析的习题,还有一本书,就是 G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的 "数学分析中的问题和定理" 在学习数学分析的阶段,可以考虑其第一卷的 前面一半,后面就全是复变的东西了. 该书的内容还是非常丰富的. 在历史上,这是一套曾经使好几代数学家 都受益匪浅的经典著作.这套书的一个好处就是 题目难归难,后面还是有答案或提示的. "微积分学教程"的第一卷有一册在理图里面似乎很少, 到总书库里面去看看吧! Loomis-Sternberg的书的书号是O172 L863 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:16pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 空间解析几何(上) 发信站: 日月光华站 (Sat Jan 15 02:00:47 2000), WWW-POST@129.104.34.3 空间解析几何实在是一门太经典, 或者说古典的课.从教学内容上说, 可以认为它描述的主要是三维欧氏 空间里面的一些基本常识,包括最 基本的线性变换(那是线性代数的特例), 和二阶曲面的不变量理论.在现行 的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的 "空间解析几何"里面,最后还有一章讲 射影几何. 这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的. 特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影 的内容还不是很好念的. 当然,这里还要提到十来年前大概 做过教材的一本书: 项武义,潘养廉等 "古典几何学". 这书的内容与课本不是很一样,不过处理方法还是 很不错的.项先生应当算做很能侃的那种类型的. 可以考虑的参考书包括: 1.陈(受鸟) "空间解析几何学" 内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点. 陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者. 2.朱鼎勋 "解析几何学" 这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂, 连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面 的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话). 朱先生相当有才华,可惜英年早逝. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:17pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 空间解析几何(下) 发信站: 日月光华站 (Sun Jan 16 05:35:47 2000), WWW-POST@129.104.34.3 如果想了解比较"新"的动态,可以考虑 3.Postnikov "解析几何学与线性代数(?)"(第一学期) 这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看 出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的 学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早 是要给吃到线性代数里面去的. 海外教材中心有一本英文本. 我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早 是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最 糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差. 我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要 下放到高中里面去. 上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话. 可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多 几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有 相当深刻的了解. 4.狄隆涅 "(解析)几何学" 这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年 前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能 写的.总书库里面有. 5.穆斯海里什维利 "解析几何学教程" 这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了. 具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点 和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的 而已). -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:18pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 高等代数-线性代数(一) 发信站: 日月光华站 (Mon Jan 17 05:08:09 2000), WWW-POST@129.104.34.3 高等代数可以认为处理的是有限维 线性空间的理论.如果严格一点, 关于线性空间的理论应该叫线性代数, 再加上一点多项式理论(就是可以完完 全全算做代数的内容的)就叫高等代数了. 这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra, 就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国 教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的 Higher Algebra. 现在用的课本好象是北大的"高等代数"(第二版?). 用外校的课本在基础课里面是不常见的. 这本书可以说是四平八稳,基本上该讲 的都讲了.但是你要说它有什么地方讲 的特别好,恐怕说不出来. 值得注意的是95-96学年度,北大现在的 校党委组织部长王杰老师(段学复先生 的弟子)给北大数学科学学院95级1班 开课时曾经写过一本补充材料,把空 间理论的讲得非常清楚.如果谁能搞到 的话翻印出来是件很好的事情(我的那 本舒五昌老师给96开课的时候送给他 了,估计是找不到了). -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:19pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 高等代数-线性代数(二) 发信站: 日月光华站 (Tue Jan 18 00:01:07 2000), WWW-POST@129.104.34.3 好象上面有一点说得不对,就是北大的书用的 还是第一版.第二版在书店里似乎看见过. 从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的. 线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在 定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一 个矩阵的表示.因此这门课的确是可以 建立在矩阵论上的. 而且如果要和数值搭界的话还必须这么做. 复旦以前有两本课本就是这么做的. 1.蒋尔雄,吴景琨等 "线性代数" 这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比 数学专业相应的课程要高的. 因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法. 我个人以为还是比较有意思的.理图里有. 2.屠伯埙等 "高等代数" 这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里 讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里 可能可以买到翻印的. 这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量 习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面 的习题做完对于理解矩阵的 各种各样的性质是非常有益的. 当然这不是很容易的: 据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁 开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话 可以来找我."有此可见一斑. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:20pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 高等代数-线性代数(三) 发信站: 日月光华站 (Wed Jan 19 01:19:27 2000), WWW-POST@129.104.34.3 如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话, 那么下面这本应该说是比较适当的. 3.屠伯埙等 "线性代数-方法导引" 这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也 更"实际"一些.值得一做. 另外,讲到矩阵论.就必须提到 4.甘特玛赫尔"矩阵论" 我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者 是柯召先生. 在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳 入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan 标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩 阵该怎么求?请看"矩阵论". 这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣. 总书库里有. 图书馆里面还有一本书的名字和矩阵论沾边. 5.许以超 "线性代数和矩阵论" 虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国 念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的, 现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还 是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于 空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:20pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 高等代数-线性代数(四) 发信站: 日月光华站 (Thu Jan 20 01:27:52 2000), WWW-POST@129.104.34.3 6.华罗庚 "高等数学引论" 华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在 矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你 只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生. 可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的 (不记得是不是在这本书里面了): n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个 把一组标准基映到1的反对称线性函数. 这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了. 高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如 7.贾柯勃逊(N.Jacobson) Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31 ("抽象代数学"第二卷:线性代数) 这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面 已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了. 此书英文版总书库里有,中文版(字体未完全简化)理图里有. 8.Greub Linear Algebra(GTM23) 这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是 值得一读的. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:20pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 高等代数-线性代数(五) 发信站: 日月光华站 (Fri Jan 21 03:04:01 2000), WWW-POST@129.104.34.3 还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有: 9.丘维声 "高等代数"(上,下) 北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向 没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些 几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少. 10.李炯生,查建国 "线性代数" 这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些 内容的处理在国内可能书属于相当先进的了. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:21pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 常微分方程(一) 发信站: 日月光华站 (Sat Jan 22 00:03:34 2000), WWW-POST@129.104.34.3 从常微分方程开始,数学课就变成 没底的东西,每一个标题做下去都 是数学研究里面庞大的一块. 对于一门基本课程应该讲些 什么也始终讨论不断. 这里我打算还是从现行课本讲起. 常微分方程这门课,金福临先生 和李迅经先生在六十年代写过 一本课本,后来在八十年代由 控制那一块的老师们修订了 一下,变成第二版,就是现在常用的课本. 上海科技出版社出版. 应该说,金先生他们的第一版在今天 看来还是很好的一本课本(这本书估计 受了下面的一本参考书 的不小的影响), 该书在理图老分类的 那一块里有. 但是第二版有那么点不敢恭维. 不知为什么,似乎这本书对具体 方程的求解特别感兴趣,对于一 些比较"现代"的观点,比如定性的 讨论等等相当地不重视.最有那么 点好笑的是在某个例子中(好象是 介绍Green函数方法的),在解完了之 后话锋一转,说"这个题其实按下面 的办法解更简单..." 而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:22pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 常微分方程(二) 发信站: 日月光华站 (Sun Jan 23 02:22:53 2000), WWW-POST@129.104.34.3 下面开始说参考书,毫无疑问, 我们还是得从我们强大的北方 邻国说起. 1.彼得罗夫斯基 "常微分方程讲义" 在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长 占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他 在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生 去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班. 他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年 的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就 利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了 一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做 到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个 天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的. 他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能 和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术 官僚作风,讲法不是非常活泼. 2.庞特里亚金 "常微分方程" 庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故 双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人 的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给 后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论", 你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投 下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的. 此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的 影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字 不感冒的话绝对值得一读. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:23pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 常微分方程(三) 发信站: 日月光华站 (Tue Jan 25 01:15:49 2000), WWW-POST@129.104.34.3 下面转到欧美方面, 3.Coddington & Levinson "Theory of Ordinary Differnetial Equations" 这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典, 数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看 着办吧. 比较"现代"的表述有 4.Hirsh & Smale "Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems" (中译本"微分方程,线性代数和动力系统") 这两位重量级人物写的书其实一点都不难念, 非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的. 关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港 城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他 为在中国领土上工作的最重要的数学家应该 没有什么疑问. 图书馆里有中译本. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:23pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 常微分方程(四) 发信站: 日月光华站 (Wed Jan 26 04:34:28 2000), WWW-POST@129.104.34.3 5.Arnol'd "常微分方程" 必须承认,我对Arnol'd是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生, 他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材 以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把 相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我 也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常 喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候 就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相 教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov, Arnol'd,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见 互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何 化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol'd 对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话 说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生 们都是这么说的. 这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高, 竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话. 再说一句,Arnol'd的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...." 的,程度要深得多. 看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人 自己的值得一看的课本吗?答曰Yes. 6.丁同仁,李承治 "常微分方程教程" 这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实, 观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方, 袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问. 附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的, 里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:23pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 常微分方程(五) 发信站: 日月光华站 (Thu Jan 27 01:55:16 2000), WWW-POST@129.104.34.3 再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看 7.卡姆克(Kamke) 常微分方程手册,那里面的方程多得不可胜数, 理图里有. 对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是 和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程, 现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉. 我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学 物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里. 事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解 这些特殊函数系的"完备性",象 8.Courant-Hilbert "数学物理方法"第一卷 可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来 并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点 可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数 一个方法学起来更容易一些. 而且, 9.王竹溪,郭敦仁 "特殊函数概论" 的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质 了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去 查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情, 看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧: "(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的 '特殊函数概论'...从此这本书就一直在我的书架 上,...经常在里面寻找我需要的结论..." 连他老先生都如此,何况我们? 上面这两本书理图里面都有,9.的英文版系资料室 有一本. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:24pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(一) 发信站: 日月光华站 (Fri Feb 18 06:08:38 2000), WWW-POST@129.104.34.3 单复变函数论从它诞生之日 (1811年的某天Gauss给Bessel写 了封信,说"我们应当给'虚'数i以实数 一样的地位...")就成为数学的核心, 上个世纪的大师们基本上都在这一领域里 留下了一些东西,因此数学的这个分支 在本世纪初的时候已经基本上成形了. 到那时为止的成果基本上都是学数学的学生 必修的东西. 复旦现在这门课是张锦豪老师教. 张老师是做多复变的.毫无疑问, 多复变在二十世纪的数学里也 占有相当重要的地位,不仅它自身的 内容非常丰富,在其它分支中的应用也 是相当多的--举个例子就是Penrose的 Spinor理论,基本上就是一个复分析的 问题.这就扯远了,就此打住. 张老师用的是他自己的讲义,那 书要到今年夏天才能印出来.所以 还是这两年上过这门课的ddmm来 谈谈感受比较好. 现在具体的情况我不是很清楚,复旦 以前有一本 1.范莉莉,何成奇 "复变函数论" 这是上海科技出版的那套书里面的复变. 今天回过头来看,这本书讲的东西也不是 很难,包括那些数量很不少的习题. 但是做为第一次 学的课本,应当说还不是很容易的. 总的说来,从书的序言里面列的参考书目 就可以看出两位先生是借鉴了不少国际 上的先进课本的. 不知道数学系的学生还发这本书吗? -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:25pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(二) 发信站: 日月光华站 (Sat Feb 19 00:56:14 2000), WWW-POST@129.104.34.3 如果要列参考书的话,单复变的课本 真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧: 2.普里瓦洛夫 "复变函数(论)引论" 这是我们的老师辈做学生的时候的标准 课本.内容翔实,具有传统的苏联标准 课本的一切特征.听说过这么一个小故事: 普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次 期末口试(要知道,口试可比笔试难多了, 无论是从教师还是从学生的角度来说), 有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝 般地问了一句"sin z有界无界?"此人 稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上 被开回去了,实在是不幸之至. 这书不在理图就在总书库里面. 3.马库雪维奇 "解析函数论(教程?)" 这本厚似砖头的书可以在总书库里找到. 它比上面这本要深不少.张老师说过, 以前学复变的学生用2.做课本,学完 后再看3.,然后就可以开始做研究了. 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的 一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程 它也给换了个名字,好象是Euler-D'Alembert 吧! 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:25pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(三) 发信站: 日月光华站 (Sun Feb 20 00:08:41 2000), WWW-POST@129.104.34.3 再说点西方的: 4.L.Alfors(阿尔福斯) "Complex Analysis(复分析)" 这应该是用英语写的最经典的复分析教材. Alfors是本世纪最重要的数学家之一 (仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的 人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长. 他的这本课本从六十年代出第一版 开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本, 理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的) 记不清了,建议还是看英文的. 这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位 代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy --积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass --幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的 课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理 可以说是相当好的. 5.H.Cartan(亨利.嘉当) "解析函数论引论" 这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物 在二十世纪复分析的发展史上也占有很重 要的地位.他在多复变领域的很多工作是 开创性的.这本课本内容不是很深,从处理 方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作 (无论如何比那套"数学原理"好念多了) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:26pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(四) 发信站: 日月光华站 (Mon Feb 21 00:03:00 2000), WWW-POST@129.104.34.3 6.J.B.Conway "Functions of One Complex Variable"(GTM 11) "Functions of One Complex Variable,II"(GTM 159) (GTM=Graduate Mathematics Texts, 是Springer-Verlag的一套丛书,后面的数字是编号) 第一卷也是1.的参考书目之一.作者后来又写 了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了. 这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass, 对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西 要到第二卷里面才能看到. 7.K.Kodaira(小平邦彦) "An Introduction to Complex Analysis" 这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课 是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师, 也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的 基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室 有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误 相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病. 由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满, 因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis" 我就找不出什么错. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:27pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(五) 发信站: 日月光华站 (Tue Feb 22 00:25:24 2000), WWW-POST@129.104.34.3 人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题 9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的 "数学分析中的问题和定理" 第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的 习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点 太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少 体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都 有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以 独立做出来的. 10."解析函数论习题集" 实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字 忘了,这本书里面的题目相当多. 理图里面有,系资料室有一本英文的. 其它的书我认为可以翻翻的包括 11.张南岳,陈怀惠 "复变函数论选讲" 这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和 上面提到的Conway的第二卷属于同一水平. 从内容上来看, 第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射" 都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此. 看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数" (这部分内容在6.里面也有),然后去看 12.J.-P. Serre(塞尔) "A course of Arithmetics"(数论教程) 第二部分的十来页东西就可以理解下述 Dirichlet定理的证明了: "a,b互素,则{am+b}里有无穷多个素数" Serre也是本世纪杰出的复分析,代数几何, 代数专家.他28岁得Fields奖的记录至今还 没有人能够打破.他写的书一向以清晰著称. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:28pm 发信人: unix ( ), 信区: mathematics 标 题: Re: 单复变函数(五) 发信站: 日月光华站 (Tue Feb 22 15:38:02 2000) , 转信 偶记得国内的复变教材还有北大庄圻泰的<<复变函数>>, 不记得是不是和张南岳合 写的。应该是不错的， 习题较多。 科大严镇军也有一本<<复变函数>>也不错。 其他的复变书都大同小异，偶还记得有本钟玉泉的馆藏考贝最多。 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : 人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题 : 9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的 : "数学分析中的问题和定理" 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:29pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(六) 发信站: 日月光华站 (Wed Feb 23 01:57:18 2000), WWW-POST@129.104.34.3 在不牵涉到复流形理论和多复变的情况下, 理图里面还有 13.庄圻泰,何育瓒等 "复变函数论(专题?)选讲" 差不多的题目应该有两本,一本肯定理图 里面是有的,比较薄,从Cauchy积分公式的 同伦,同调形式讲起,属提高性质.另外一 本记忆中就觉得太专门了点. 除此之外,讲单复变的还有两本书, 不过可能第一遍学的时候不是很适合看. 图书馆里面都有. 14.W.Rudin "Real and Complex Analysis" 必须承认,Rudin很会写书,这本书里面他把 对应与我们的复变,实变,泛函的许多东西 都串在一起了.用泛函方法处理复变的基础 是某一个Riesz表示定理,在复旦的课本里面 你要到研究生的泛函课本里(还不一定教) 才能找到那个命题.所以还是到学泛函的时候 再谈吧! 15.L.Hormander "An Introduction to Complex Analysis in Several Variables" 这是本标题下出现的第三位Fields+Wolf的人物. 他的这本多复变的课本也是经典,其工具主要是 微分算子的L^2估计.这里有用的是它的第一章, 可以说第一次看这部分讲单复变的内容一般都会 有一种耳目一新的感觉.讲个细节,就是Cauchy 积分公式对于一般可微函数的推广叫Cauchy-Pompeiu 公式,基本上多复变的课本都会提到而单复变的 书都不讲.其实只要你看一下它的形式就会知道 这个公式的用处是很大的,不妨试试拿它来算一些 奇异积分. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:29pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(七) 发信站: 日月光华站 (修改：Thu Feb 24 01:40:57 2000), WWW-POST@129.104.34.3 16.Titchmarch "函数论" 这是一本老书,相当有名.书中一半多的篇幅是讲复变的, 看看可以知道二十世纪上半叶的函数论是什么样子. 除此之外的意义是,程民德先生在他给陈建功先生做的 传中写到:"(三十年代的浙大)陈先生开的复分析课程 几乎包括Titchmarch函数论除实函数外的全部内容.." 关于陈先生这位对今天复旦数学系的地位有至关重要 影响的先驱,等说实变的时候再谈吧! 17.戈鲁辛 "复变函数几何理论" 这本书也很老了.但是这本书的价值并不因时间的推移而改变. 作者也是很好的数学家,夏道行先生当年在苏联做得 最好的工作之一就是解决了戈鲁辛的两个猜想. 总书库里面应该有,标题可能略有出入. 最后讲一本书,不知道复旦有没有: 17. R.Remmert "Complex Analysis"(GTM,reading in mathematics) Remmert是德国的多复变专家,他的这本书一点也不深, 其最大特色是收集了很多历史资料,把许多概念的 来龙去脉交代的异常清楚. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:30pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 单复变函数(补遗) 发信站: 日月光华站 (Mon Apr 10 00:21:33 2000), WWW-POST@129.104.34.3 12.的作者J.-P. Serre成为第五位 既得过Fields奖又得过Wolf奖的数学家. (前面四位是L. Alfors;K. Kodaira; L. Hormander;J. Milnor) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:30pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 组合基础(一) 发信站: 日月光华站 (修改：Mon Mar 13 19:50:21 2000), WWW-POST@129.104.34.3 这门课没读过,不过如果现在的课本还是 1.I.Tomescu "组合学引论" 的话,倒还是想说两句的. 首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读. 其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案 (严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代, 就该知道这些结果不是那么平凡的了) 作为补充,可以考虑 2.I.Tomescu "Problem in graph theory and combinatorics(???)" 这本书有比较详细的提示和解答, 里面的题目也非常好, 高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍 (当时条件简陋,没法复印的说...//sigh). 不过复旦是不是有我不是最清楚. 但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面 有很多: 3.Lovasz "Problems in Combinatorics(?)" 这是本相当好的习题集,作者Lovasz是 唯一一个得过wolf奖的组合学家. 唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大 了点,不过千万不要被吓倒! -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:30pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 组合基础(二) 发信站: 日月光华站 (修改：Sat Apr 15 06:35:04 2000), WWW-POST@129.104.34.3 (这里应当声明,已经快五年没好好看 过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所 偏差,还望大家原谅) 有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概 可以算 4.Bondy,Murty "Graph Theory and Applications(?)" (中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有) 这本书内容翔实,写得很容易读, 而且有许多难度适当的习题, 注意这些习题不仅在书后(好象) 有简短的提示,而且在图书馆里面 还有一本 5."图论及其应用"习题解答 做得还算不错吧. 翻译成中文的书里面, 还有上海科技出版的 6.Harary(哈拉里) "Graph Theory"(图论) 这本书里面的习题基本上都是从 人家的论文里面直接找来的,所以 有相当难度,虽说那里给出了非常 详细的文献来源,但是有些还是 很不好找的.这本书其实已经有 点专著的味道了. 讲到图论,还有象 7.B. Bollobas "Graph Theory"(GTM 63) 这本书世界图书刚刚重印, 市面上应该还能见到不少. Bollobas现在是在剑桥吧, 国际数学家大会上也是做过 45分钟报告的. (作为参照,改革开放 以来,从大陆出去做过45 分钟报告的好象才两个人 --在国外工作的加上去 也不到十个吧) 8.G.Chartrand,L. Lesniak "Graph and Digraphs" 是本好书,浅显易懂. 此外还有 9.C. Berger "Graph and Hypergraph" 是这里的框架性著作, 至少在外国教材中心里面 有一本. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:31pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 组合 基础(三) 发信站: 日月光华站 (Sun Apr 16 01:51:13 2000), WWW-POST@129.104.34.3 还有一些不讲或不专讲图论的组合书, 中文的有 10.李乔 "组合数学基础" 我们的这位校友(华宣积老师的 同学)文革期间在中科大吃过很 多苦头,现在在上海交大.他这本书 写得很不错,不过一个小小的遗憾, 就是这书的书脊上印的是"组合 数学础基". 11.I. Anderson "Combinatorics of Finite Sets" 12.Bollobas "Combinatorics" 这两本书国内影印过,所以我想总书库里面 会有. 理图里面还能找到一本薄得要死 的名著 13.Ryser(赖瑟) "组合数学" 这里面记得有一些讲组合设计 的章节还是很简单明了的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:31pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 组合基础(四) 发信站: 日月光华站 (Mon Apr 17 00:34:47 2000), WWW-POST@129.104.34.3 至于象 14.魏万迪 "组合论" 这书感觉好象篇幅太大了点, 而且你很快就会发现其实这书 很不好看. 着重算法的书很多就是计算机类的了, 比如 15.朱洪等 "算法设计和分析" 16.卢开澄 "组合数学--算法与分析" 印象中该书第一版是上下两册, 第二版就只剩下一半篇幅了, 没有很仔细得比较过前后两版, 所以也说不出究竟变了点什么. 组合数学有不少书是可以看着玩的, 比如外国教材中心里面有一本书 好象叫"Graph theory from Euler to Konig"(等于就是说讲现代图论 的史前史),等等. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:32pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 组合基础(五) 发信站: 日月光华站 (Tue Apr 18 00:17:52 2000), WWW-POST@129.104.34.3 如果要求不是很高,那么下面的书 可能可以算篇幅不大,内容不深, 但多少也讲了些东西的: 17.I. Anderson "A First Course in COmbinatorial Mathematics" 18.C.Berger "组合学原理"(上海科技) 19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长) "组合学引论" 这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点. 其它都还好,在北美的评价也不错. 此外,最近刚刚看到出了一本 20.Lovasz,et al.(ed.) "Handbook of Combinatorics" 厚厚的两大本,里面有很多人的文章, 算得上是包罗万象了. 组合里面还有一个非常有名的东西 --四色定理,关于它就是是不是被 证明了争论了很多年,当真是仁者见仁, 智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken 写过本书,就叫 21.Appel ,Haken "Every Planar Map is Four Colorable" 如果你觉得这书块头太大, 可以先翻翻他们在 22.Steen(ed.) "mathematics today" (中译本:今日数学,上海科技) 里面的一篇通俗的文章, 写得非常的好. 最后补充canetti指出的 23.Reinhard Diestel "Graph Theory"(GTM173) 这本书里面讲到了概率方法, 这个感觉是一个很有希望的方向, 有很多人在做,包括98年得 Fields奖的T.Gower(这位是靠 Banach空间理论得奖的,但是 他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆 就转向组合了) -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:32pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 抽象代数(一) 发信站: 日月光华站 (Thu Mar 30 06:48:04 2000), WWW-POST@129.104.34.3 抽象代数 有的地方管这叫"近世代数", 反正近不近各人自己看着办吧! 从历史上说,可以认为严肃的讨论 是从伽罗华开始的,他在决斗前夜 写下的那封著名的信件(里面有 "你可以公开向Jacobi或者Gauss 提出请求,不是就这些结果的正确性, 而是重要性,给出意见....",现藏 法国国家图书馆).在后来的发展过程 中,代数结构话的语言逐步渗透到 数学的各个角落.到今天这已经是 一门无处不在的分支了. 不止一个老师教导过我们: 在复旦,你们受到的分析训练将是 很多的(充不充分要看各人的要求了), 但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫. 现行教材是我的本家写的, 总的说来作为初学还很可以一读, 原因将在下面说明. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:33pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 抽象代数(二) 发信站: 日月光华站 (Fri Mar 31 04:40:27 2000), WWW-POST@129.104.34.3 北大的课本是 1.丁石孙,聂灵沼 "代数学引论" 这本书的特点和北大的那本高等代数一样, 就是没什么自己的特色,原因是这本书从 体例到习题在很大程度上参考了 2.N.Jacobson "Basic Algebra I,II" 这书在总书库里面有不少, 理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫 "基础代数学"吧,不过翻译质量一般. Jacobson在代数领域也属于权威, 是华先生同时代的人.这本书从观点 上说是相当现代化的,比同作者的那本 3.N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32) (中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有) 要改进不少. 有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去 比较一下. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:33pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 抽象代数(三) 发信站: 日月光华站 (Sat Apr 1 00:22:21 2000), WWW-POST@129.104.34.3 从习题的角度上说,可以看 4.徐诚浩 "抽象代数--方法导引" 这本书可以说比较适合在复旦学这门课. 可以罗列的参考书还有很多, 综合性的课本有名气很大的 5.S.Lang "Algebra" Lang写书以清晰著称,他的这本书还得过 AMS发的Steel优秀图书奖. 6.莫宗坚 "代数学(上,下)" 北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看 过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书 推崇倍至,认为比1.写得好. 7.熊全淹 "近世代数" 这本书的好坏不敢评论, 不过这本书有个很大的特点, 就是作者收集了很多小文章, 比如许多American Mathematical Monthly 上的短文.依他开列的参考文献到 系资料室去找,可以看到很多有趣的东西. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:34pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 抽象代数(四) 发信站: 日月光华站 (Sun Apr 2 00:14:13 2000), WWW-POST@129.104.34.3 其它的就是比较专门的东西了.比如群论 就有影响过无数学者的 6.库洛什 "群论" 注意这本书第二版和第三版中译本的封面 一模一样. 或者段学复先生的导师Robinson写的 7.Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80) 再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著, 不过我是一窍不通的了.还望这里的高手 多多指点. 对于Galois理论,有一本 8.E.Artin "伽罗华理论" 非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作. 还有 9.Edwards "Galois Theory"(GTM 101) 这本书很有趣,它是循着Galois的原始 想法写的,因此和一般通行的教本里面的 讲法不是很一样. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:34pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(一) 发信站: 日月光华站 (修改：Fri Mar 3 22:30:37 2000), WWW-POST@129.104.34.3 这是数学系的学生学到的第一门 完全属于二十世纪的课程. 这门课程的重要性是不言而谕的. 对于这门课程在中国的发展, 许多和复旦有密切关系的前辈都 做出过重要贡献. 在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是 陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的 先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习 现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个 外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生 一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献. 即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究. 李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和 Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到 "这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的 桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在 1."中国现代数学家传"(第二卷) 里面做了一篇传记,不可不读. 陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代 他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是 2.陈建功 "实函数论" 今天看来,这里面的内容是相当古典的, 但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的. 陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生 包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生 和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串 长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行, 龚升,李训经... 前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记, 五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的, 一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...." 那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着. 另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有 某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为 实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:34pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(二) 发信站: 日月光华站 (Sat Mar 4 23:57:22 2000), WWW-POST@129.104.34.3 今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹, 比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大 图书馆的(见内页题字) 现在用的课本是 3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌 "实变函数论与泛函分析" 第二版,上,下册 这是,在我看来,复旦为中国的数学事业 贡献的最重要的课本.从1978年第一版 出版开始,这就是中国最标准的实变与 泛函课本.受益与此书的学生不可计数. 夏先生是陈先生五十年代初的研究生. 当年陈先生开实分析课的时候夏先生 做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的 要求差不多,不是吗?*_^) 夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand. 那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand 又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅 在在苏联的两年间做出了相当好的工作, 而且回国后在复旦建立了一个相当 强的泛函研究小组.具体可以看 4.杨乐,李忠编 "中国数学会六十年" 里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章. 六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书" 的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国 数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年 的学术地位! 夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的. 在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的 是这三样. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:35pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论和泛函分析(三) 发信站: 日月光华站 (Tue Mar 14 00:54:45 2000), WWW-POST@129.104.34.3 我们一章一章来看: 第一章"集和直线上的点集" 这是很美妙的东西,数学系的学生从这里 开始严肃地接受关于无限的教育. 具体的问题是教师一般都要在这一章 上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的 东西学生以前根本没有接触过.我想今后 可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章 的内容,象实数理论和极限论,等价关系, 直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很 多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书 也能看到这些内容. 大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理, 在 5.E.Hewitt, K.Stromberg "Real and Abstract Analysis"(GTM 25) 里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其 等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的. 这个方向上扩展出去可以看 6.那汤松 "实变函数论" 在下册里面还有关于超限归纳法的描述. 这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈 建功先生对他的这位女弟子的译做赞不绝口. 徐先生不幸于文革中自杀身亡. 总书库里面有. 另外,对于很多具体的点集的例子,有许多 书可以参考,比如 7.汪林 "实分析中的反例" 这是本非常非常好的书,在以后的几章里面 我们也都要引用这本书.作者是程民德 先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是 一本讲例子的书!理图里有. 和一些习题集和解答,比如 8."实变函数论习题解答" 这是那汤松的书的习题解答.质量一般, 不过好歹是本习题解答吧. 9."实变函数论的定理与习题" 记不清是谁写的了,应该是某个苏联人. 里面有详细的解答,质量相当高. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:35pm 发信人: dhj (辛辛苦苦背单词), 信区: mathematics 标 题: Re: 实变函数论和泛函分析(三) 发信站: 日月光华站 (Fri Mar 24 22:23:41 2000) , 转信 作者是I-C.O 鄂强 这本习题集很不错，做过一遍后（或者看一遍也可以）， 应付教材上前两章的习题是绰绰有余了。 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : 9."实变函数论的定理与习题" : 记不清是谁写的了,应该是某个苏联人. : 里面有详细的解答,质量相当高. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:36pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(四) 发信站: 日月光华站 (修改：Tue Apr 4 22:24:53 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第二章"测度" 这是这本书上册的核心. 测度在这里的讲法, 从环上的测度讲到测度的扩展, 基本上属于 10.P.R.Halmos "Measure Theory"(GTM 18) (中译本:测度论) 的框架里面.这本书实在不敢 评论,自己看吧! 这本书里面还有一些精选的习题, 有胆子和时间的话值得一做. 集环的理论 一本相当有趣的书可以看看, 就是 11.J.Oxtoby Measure and Category(GTM2) 这里的"category"不是指代数里面的范畴, 而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西. 现在可以来谈谈 12.周民强 "实变函数"(第二版) 这本书写得不错,总的说来最大的 好处恐怕就是习题很多, 而且都是能做的习题--复旦的课本 里面的习题初学好象是难了点, 特别是在没有答案的情况下 还有一本很好的书, 可惜至今只打过几个照面, 但是可以肯定的是绝对是好书: 13.程民德,邓东皋 "实分析" 我见过这书里面的一个测度的题目: $m^*(E_1\cap E_2)+m^*(E1\cup E_2) \leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$, 还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦! 此外,上一章里面的参考书都可以搬过来. 需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分 的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S 的差别还是有用的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:36pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(五) 发信站: 日月光华站 (Tue Apr 4 00:37:28 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第三章 这就是真正的实分析了.这里面应该说 每一节都是重要的. 在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑 下面的: 14.I.E. Segal, R.A. Kunze "Integrals and Operators" 和 15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin "函数论与泛函分析初步" 这些作者应该说都是相当好的数学家了. 比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因, 最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的 东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的. 最后问个小问题: "L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间" 这句话对吗? 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:37pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(六) 发信站: 日月光华站 (Wed Apr 5 18:21:59 2000), WWW-POST@129.104.34.3 在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能 先建立积分理论再导出测度的.比如下面 将要讲到的 16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙 "泛函分析第二教程" 里面就有一些这方面的内容. 此外还有象 17.夏道行,严绍宗 "实变函数与泛函分析概要(?)" (上海科技出的那套教材里面的一本, 理图里面有)好象就是按照先积分 再测度的办法讲的. 另外用这一体系的书好象还有 18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle) 这也是不错的书. 对测度感兴趣的话,还可以看一些 动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory) 的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony). 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:37pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(七) 发信站: 日月光华站 (Thu Apr 6 00:05:06 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第四章 从这里开始算泛函分析的课了. 不过这一章是不是一定要以这样的 篇幅在这里讲值得讨论. 其实很多度量空间的概念在数学分析 课里面就可以解决掉,在这里应该只要 强调有限维和无限维的差别就可以了. 上面的许多参考书在这里一样可以用, 还应该加上的是: 19.汪林 "泛函分析中的反例" 第十节一般不讲,不过这东西实在是基本, 整个泛函的体系都可以建立在上面, 理图里面有一本 20.夏道行,杨亚立 "拓扑线性空间" 不过那书基本上是第二作者写的,所以建议 有兴趣的化还是看下面几本 21.N.Bourbaki "Topological Vector Space"Chpt. 1-5 布尔巴基写书是一章一章出的, 这书能一次就包含五章,实属罕见. 而且估计今后也不会有后续的内容了. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:37pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(八) 发信站: 日月光华站 (Thu Apr 6 23:19:15 2000), WWW-POST@129.104.34.3 GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的: 22.H.H.Schaefer Topological Vector Spaces(GTM3) 和 23.J.L. Kelley, I.. Namioka Linear Topological Spaces(GTM36) 16.里面有一章也是讲这东西的. 其它许多以"泛函分析"为标题的书也是 以此为出发点的,比如 24.S.K. Berberian "lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15) Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry" 是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本. 或者 25.W. Rudin "Functional Analysis" 这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的. 26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov "Functional Analysis" (英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多) 不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的, 这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕 就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书, 中译本的质量也很不错. 此外还有 27..J.B. Conway "A Course in Functional Analysis"(GTM96) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:38pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: Re: 实变函数论与泛函分析(八) 发信站: 日月光华站 (Tue Apr 11 01:09:06 2000), WWW-POST@129.104.34.3 【 在 goliath (朱古力) 的大作中提到: 】 : 不好意思，也许是个傻问题，不过偶还是想问问。 : GTM是什么啊？ 这问题不傻,因为在写数学分析,高等代数的时候 就提过,所以这里我就没有重复. GTM=Graduate Texts in Mathematics 是Springer-Verlag出的一套数学教材丛书, 其中有很多都是人家已经成名的教材它把版权拿过来 重印的,因此有一些还是经典著作. 现在大概出到第200号左右, 前120本世界图书出版公司都是影印的 (早期是完全盗版,后来开始买版权了), 后面的只有部分影印. 老的那些(120号以前)总书库里面 一般都能找到. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:38pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(九) 发信站: 日月光华站 (Sat Apr 8 00:24:15 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第五章 这一章讲述Banach空间上的有界线性 算子理论.这一内容的框架性著作 毫无疑问是 28.Dunford,Schwarz "Linear Operators"I 这书在系资料室运气好的话能找到一到两本. 注意有一些结论是可以把Banach空间减弱 为Frechet空间的,不过好象据说实际应用 中除了广义函数空间是个Frechet空间以外 其它用得并不多. 前面列的各中标题是泛函分析的书这里 都可以用. 汪林的书19.里面有许多有趣的例子. 不自反的空间的例子在系资料室 可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上. 再补充一下前面漏掉的一本书: 29.W.Rudin "Real and Complex Ananlysis" 在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了, 这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法 在复变中的应用.这书现在已经有第三版了, 老的版本总书库里面有很多. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:39pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(十) 发信站: 日月光华站 (Sun Apr 9 03:46:17 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第六章 Hilbert空间由于其上存在一个内积, 可以发展的性质比Banach空间要多得多. 从空间本身来讲,线性代数学好点对 本章前面几节有很大帮助,学的过程 中密切注视维数无限导致的各种反例 就是了. 算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些 有限维的性质是可以推广到无限维的 对整个体系的理解很有用. 本科阶段一般也就教半章,这也没有办法, 如果第四章能省下的点时间的话还是能够 讲一些算子谱理论的. 这里可以做的习题非常多,特别是 30.P.R. Halmos A Hilbert Space Problem Book(GTM19) 算得上一本杰作."The only way to learn mathematics is to do mathematics"就出自 这里. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:39pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(十一) 发信站: 日月光华站 (Mon Apr 10 00:10:55 2000), WWW-POST@129.104.34.3 再往下去研究算子代数的话,就实在"是没有底的东西了"(陈晓漫) 在16.里面有一章讲些基本概念. 这一块的文献也是浩如烟海, 因为学得太少,不敢妄加评论,只想指出一本书, 31.G.K. Pedersen "C*-Algebras and their Automorphism Groups" 这书连A.Connes都说好,我想决不会差到哪里去. 再说两句A.Connes,关于他的工作,或者说整 个算子代数往后来的非交换几何的发展历史, 特别是这一分支从其开始的阶段就和量子物理 的联系,可以看 32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici "Riview of Noncommutative Geometry by Alain Connes" AMS Notice,v.44(1997),No.7 33.A.Lesniewski "Noncommutative Geometry" AMS Notice,v.44(1997),No.7 还有 34.Irving Segal Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes AMS Bulletin,v.33(1996),No.4 因为 35.Alain Connes(Fields 82) "Noncommutative Geometry" 可以说是这一块的里程碑式的著作, (33.中甚至说今后人们会用今天看 Riemann的就职演说的眼光看这本书) 所以对于这本书的评论很多也就 把整个分支都评论进去了,不妨看看. Jones说这书是"A milestone for mathematics. Connes has created a theory that embraces most aspects of `classical' mathematics and sets us out on a long and exciting voyage into the world of noncommutative mathematics".做为老前辈,Segal的书评里面 有一些批评,也值得注意. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:39pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 实变函数论与泛函分析(十二) 发信站: 日月光华站 (Tue Apr 11 00:49:50 2000), WWW-POST@129.104.34.3 第七章 这一章一般不讲,在本科阶段不讲, 在研究生阶段也不讲,实在奇怪,不是吗? 主要问题是,就事论事地讨论广义函数 恐怕不是非常地有趣,要紧的还是这套框架 在偏微分理论中的应用.现在的状态就是 你在复旦数学系基础专业念四年出来可以还没 听说过什么叫Sobolev空间,尽管大家都承认 复旦的偏微是很强的...\\sigh 在广义函数的标题下最有名的应该是 36.I.M.Gelfand等 "广义函数"(Generalized Functions,I-V) 大概I-IV都有中译本吧!理图里面应该是有的, 英文本系资料室有.从泛函的角度,据说是 第二本最有意思. 另外还有两本好书,不光是这一块内容, 从整体上讲也是很好的泛函课本 37.K.Yosida(吉田耕作) "Functional Analysis" 他也过两种不同"规格"的书,一本比较厚, 一本比较薄,都很好.其中有一本的第六版 去年世界图书刚刚影印. 38.H.Brezis "Analyse Fonctionelle" Brezis是我校名誉教授,法国科学院院士, 非线性偏微的权威.他的这本书很见功力. 如果能念法语的话绝对值得一读. 在Rudin的书25.里面也讲了不少广义函数的内容, 特别有一章讲Tauberian Theory,很有意思. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:41pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学物理方程(一) 发信站: 日月光华站 (Thu May 11 07:11:22 2000), WWW-POST@129.104.34.3 这是讲偏微分方程的课的名称. 顾名思义,就是说这里的方程原则上 最早都是从物理里面来的. 这个分支里面的东西丰富之至 (当然往反面说就是有时候会显得 结果比较零散). 现行课本是 1.谷超豪,李大潜,谭永基(?),沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿 "数学物理方程"(上海科技) 这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数, 弱解等泛函里面的概念)是相当不错的. 注意那些经典方程的推导里面多少有一些 近似的过程,这其实从某种意义上反应了 所对应的微分算子的某些性质的稳定性. 比如,对于经典的波动方程,3维及以上的 奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作 经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个 证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到, 差不多二阶双曲方程里面只有波动方程 有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程 的推导里面是有近似的,这说明什么? 一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的, 常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很 有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来 证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有 存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事, 可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!! 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:41pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学物理方程(二) 发信站: 日月光华站 (Fri May 12 02:47:28 2000), WWW-POST@129.104.34.3 学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等), 故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有 看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本 相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计 等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些. 注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书 2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基(?),郑宋穆,??? "数学物理方程"(人民教育?高等教育?) 这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近. 特别指出这本书的原因是在复旦的课本 中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的" 习题解答的,那是80年代初,油印本. 能不能搞到就看各位本事了. 那本解答对于做作业是很有帮助的. 比较容易找到的书里面, 3.陈恕行,秦铁虎 "数学物理方程--方法导引" 是一本非常好的讲习题的书. 里面的习题如果能够全部做一遍的话, 应付考试是绰绰有余了. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:42pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学物理方程(三) 发信站: 日月光华站 (Sat May 13 01:27:40 2000), WWW-POST@129.104.34.3 说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年 里面有翻天覆地的变化,古典的方法 和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾. 我想说起古典的, 4.R. Courant, D. Hilbert "数学物理方法"(I,II) 可以说是毫无疑问的经典. 按照洪家兴老师的说法, 不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块 这本书里面的相应章节都是经典, 问题就是这书放在一起你是没办法 当教材来学的,所以只能有空翻翻啦.... 经典的教材,大概可以算 5.彼得罗夫斯基 "偏微分方程讲义" 这本书从风格上可能和他老人家那本 "常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容, 象Cauchy-Kovalevskaya定理,在 复旦的本科也好象是不讲的. 我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就 不怎么做东西了,主要的精力一直放在 为苏联数学界构造保护伞方面. 他最后去世的时候是这个样子的, 某天他到莫斯科市委会去开会, 跟人家大吵了一架,因为基础科学 研究的经费的事情,结果出来的时候 在大门口突发心肌梗塞,他的最后一句话 是:"我嬴了". 有这样的人存在你才可以想象为什么 人家的大清洗没有对科技的发展有 太大的影响.对于这个问题,建议看看 6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432 和 7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:42pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学物理方程(四) 发信站: 日月光华站 (Sun May 14 02:10:26 2000), WWW-POST@129.104.34.3 还有 8.O.A. Ladyzhenskaya "The Boudary value Problems of Mathematical Physics" 和5.一样,都很经典.当然你要说它们 陈旧我也没话可说. 既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧, 在这个方向上我以为 9.李大潜,秦铁虎 "物理学与偏微分方程"(高教) 还是很不错的,上册已经出版,下册 也就要付印了.该书的起点并不高, 所以应该比较容易看. 据说该书的责编(北大毕业的)极为负责, 认真到连里面的公式都一个个去推导的地步. 从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于 本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的 书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的. 比如 10.L.Bers, F. John, M. Scheter, "Partial Differential Equations" Bers是个很有趣的人, 可以看看 11.L.Steen, ed. "今日数学"(Mathematics Today) 里面的文章.附带说一句,这本书是最好的 数学普及读物之一,绝对值得一看, 中译本的质量也不错. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:43pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 数学物理方程(五) 发信站: 日月光华站 (Mon May 15 00:04:56 2000), WWW-POST@129.104.34.3 12.F. John "Partial Differential Equations" 这本书系资料室肯定有. 剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚 印,虽说贵了点.不过还是值得一看的. 13.J. Rauch "Partial Differential Equations"(GTM128) 14.M. Taylor "Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115) 后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好) 引G. Lebeau的一句话,这书比 15.L. Hormander "Linear Partial Differential Operators, I" 要好念多了. (当然基本上人人都是这么认为的, 只不过这位的来头比较大而已 --法国科学院通讯院士,46岁) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:43pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 拓扑学(一) 发信站: 日月光华站 (Wed May 31 23:38:47 2000), WWW-POST@129.104.34.3 我拓扑学得很差(从总体上说), 因此这里我也说不出太多东西. 大概也就点集拓扑还算过得去, 我以为这一方面我们的现行课本: 1.李元熹,张国(木梁) "拓扑学" 的前两章还是不错的.至少该讲的东西 都讲了,而且后面罗列(我想不出还有 什么更好的形容词)了许多习题, 做上一遍是很有趣的一项工作. 中文的参考书里面好象 2.熊金城 "点集拓扑讲义" 是比较好的.该书也有些名气. 不过要好好学,可能还是看下面的两本 比较经典的书: 3.J.L. Kelley "General Topology"(GTM 27) 此书名头很响,55年出版的时候应该算得 上是把这一领域里面的结果做了个 很好的总结.该书是想写成课本的, 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,... 编号.只是....真要做起来未免有些困难. 听说过这样一个故事,就是曾有一位 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间 说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的 书,而且要习题全做.结果大家都笑了, 因为大家都明白这目标不是很现实. 我个人的经验是,在那个学期陷入各类 考试的重围中之前,还做了前面两三章 的题目.是比较困难,但是做起来也非常 有趣. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:44pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 拓扑学(二) 发信站: 日月光华站 (Thu Jun 1 22:51:04 2000), WWW-POST@129.104.34.3 再补充一本中文的书,内容和1.差不多 4.尤承业 "基础拓扑学" 是北大的教材. 5.I.M.Singer, J.A.Thorp "Lecture notes on elementary topology and geometry (中译本基础?)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译) 这是本极好的教材,应该 可以用深入浅出来形容吧! 第一作者Singer就是和Atiyah 一起证指标定理的那位,说是重量 级人物当无疑义. 如果你只想查结果,我觉得可以去找 6.R.Engelking "General Topology" 这书是七十年代末写的,内容翔实, 至少对我来说是有包罗万象的感觉, 当然对做这一块的人就不一定了. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:44pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 拓扑学(三) 发信站: 日月光华站 (Sat Jun 3 01:18:06 2000), WWW-POST@129.104.34.3 按照萧先生的速度,大概第二章还是能 讲大半的. 这里属于代数拓扑的起始部分, 参考书一下子就比前面的多多了. 讲代数拓扑的书,可能 7.Greenberg "Lectures on Algebraic Topology" 属于写得很通俗易懂, 配置合理的那一类. 还有象GTM里面的 8.W.S.Massay "Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) 也是写得很好的书. 我能写的大概就这点了, 还望大家多多补充. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:45pm 发信人: Eureka (衰人), 信区: Mathematics 标 题: Re: 拓扑学(三) 发信站: 日月光华站 (Mon Jan 15 08:31:31 2001) , 转信 Spanier's "Algebraic Topology" can not be neglected. it is a classic in this field, though it is not easy to read. Aleksandrov's " Combinatorial Topology " is very good for beginner. it is an authority in history.but it is too large, it contains 3 volumes. Bredon's " Topology and Geometry"(GMT139) is praised as the successor of Spanier's great book. 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : 按照萧先生的速度,大概第二章还是能 : 讲大半的. : 这里属于代数拓扑的起始部分, : 参考书一下子就比前面的多多了. : 讲代数拓扑的书,可能 : 7.Greenberg : "Lectures on Algebraic Topology" : 属于写得很通俗易懂, : 配置合理的那一类. : 还有象GTM里面的 : 8.W.S.Massay : "Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) : 也是写得很好的书. : 我能写的大概就这点了, : 还望大家多多补充. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:45pm 发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics 标 题: 拓扑学（dhj补充版，一） 发信站: 日月光华站 (Sun Jun 4 10:17:11 2000) , 转信 这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。 拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展 的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为 当代数学理论的三大支柱。 如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看 《拓扑学奇趣》 巴尔佳斯基 叶弗来莫维契 合著 这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定 数量的有启发性的题目。 M.A.Armstrong的《基础拓扑学》也是一本不错的书。 由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间， 有些是甚至是在度量空间里讨论问题的， 所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。 由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:45pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 微分几何(一) 发信站: 日月光华站 (Fri Apr 28 06:15:58 2000), WWW-POST@129.104.34.3 几何是非常美妙的,通常人们提到几何 的时候会把直观两个字加上去. 这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外. 具体的说,就是虽然微分几何往往会使人 感觉被淹没在计算的汪洋大海,但是 有一个几何的"感觉"是很有帮助的. 现在用的课本应当是 1.苏步青,胡和生等 "微分几何" 这书写得不错,至少比北大陈维桓的 那本"微分几何初步"要好多了.这很大 程度上应当感谢本书的主要作者,也就是 书上列的第三作者沈纯理先生,他现在 在华师大. 应当承认这本书,特别是第三章, 取材受 2.Do Carmo(多卡模) "曲线和曲面的微分几何学" "Differential Geometry of Curves and Surfaces" 这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来 实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本, 如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照. 1.第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬 过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:46pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 微分几何(二) 发信站: 日月光华站 (Sat Apr 29 01:12:36 2000), WWW-POST@129.104.34.3 还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明 中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧. 一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的 扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目. 这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些 经典的著作在数学系资料室都能找到, 比如 3.Eisenhart "Diffenrential Geometry(?)" 谷先生读书的时候就念过这本. 还有象 4.Darboux "Lecons sur la theorie generale des surfaces" 在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷. 古典微分几何的开山之做是 5.Gauss "Disquisitiones generales circa superficies curvas" 这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用 德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有 人能看懂,不过现在我们有下面的 6.P.Dombrowski "150 years after Gauss' 'Disquisitiones generales circa superficies curvas' " 这里面有完全的英文翻译和里面的结果到 20世纪70年代末的发展情况. -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:46pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 微分几何(三) 发信站: 日月光华站 (Sun Apr 30 03:41:11 2000), WWW-POST@129.104.34.3 对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象 7.吴大任 "微分几何学(?)" 或者五十年代翻译苏联的课本等等, 内容都差不多,而且微分几何的特点 是各人都喜欢用自己的一套符号, 许多符号,象曲率等等,常会有正负号 的差异,所以建议认定一两本, 其它简单翻翻即可. 所以说想找讲解详细的书还不如看 8.沈纯理,黄宣国 "微分几何"(经济科学出版社,97) 虽然说这本书是自学考试的教材. 那里的习题也是有较详细解答的. 更难一些的习题可以在 9.姜国英,黄宣国 "微分几何100例" 里面的题目全部做下来的话, 应付期末考试绝对是没有问题的. 而且,如果老师有心考点难题的话, 说不定就会有里面的题目. 此外还有两本苏联人的书 10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko "微分几何与拓扑学教程" (中译本,第一册,第二册) 我没有看到过是否有第三册, 反正这书是没有翻全.其处理 方法别具一格.我想这书要不是 非常好的话胡先生也不会去翻它. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:46pm 发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics 标 题: Re: 微分几何(三) 发信站: 日月光华站 (Sun Apr 30 10:07:24 2000) , 转信 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : 9.姜国英,黄宣国 : "微分几何100例" : 里面的题目全部做下来的话, : 应付期末考试绝对是没有问题的. : 而且,如果老师有心考点难题的话, : 说不定就会有里面的题目. 呵呵，师兄真是料事如神啊 : 此外还有两本苏联人的书 : 10. A.S. Mishenko, A.T. Fomenko : "微分几何与拓扑学教程" : (中译本,第一册,第二册) : 我没有看到过是否有第三册, : 反正这书是没有翻全.其处理 : 方法别具一格.我想这书要不是 : 非常好的话胡先生也不会去翻它. 这本书确实不错，可我没有全部看完：（ -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:47pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 微分几何(四) 发信站: 日月光华站 (Mon May 1 01:58:42 2000), WWW-POST@129.104.34.3 忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面", 这里的特点是甚至可以不引进 流形等概念,出现的最难的工具 有时候就是单复变的一些结果. 这门课的参考书大概首推 11.R.Osserman "Lectures of Minimal Surfaces" 此书篇幅不大,但内容丰富. 其它还有 12.J.C.C.Nitsche "Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1) 这书学校里面肯定有.这里面关于Plateau问题讲得很 全,可惜至今我没见到第二册,而原来的德文版 又看不懂(上面写的是英译本):-( 注意到微分几何有许多东西并不象 大家想象的那样古老,比如第三章里面 提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor 还好好活着呢?再比如说等温参数,几乎 必引的文献就是陈省身先生55年的文章. 这些文献,系里的资料室里面都是有的, 看原始文献可以让人逐步体会一样东西 在它刚刚出现的时候是个什么样子, 这和经过无数再处理后写进课本的讲法 往往是不一样的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:47pm 发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics 标 题: Re: 微分几何(四) 发信站: 日月光华站 (Mon May 1 22:24:57 2000) , 转信 补充一本： 《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写 就是那本黄颜色封面的，理图里有借 【 在 yjyao (等待......未来) 的大作中提到: 】 : 忻元龙老师有时候会开一门"极小曲面", 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:47pm 发信人: dhj (undercover~~卧底人生), 信区: mathematics 标 题: Re: 微分几何(四) 发信站: 日月光华站 (Tue May 2 15:40:04 2000) , 转信 这本书的原版据说晦涩难懂， 但即使改写以后，根据潘老师的讲法， 看起来也比较费劲。 印象比较深的有，书中单独的一节讲了Bertrand曲线， 对于等周问题，该书也给出了好几种不同的证法。 （最近的几期美国数学月刊里，对于该问题也集中给出了 几个比较初等的证明和若干相关命题） 另外，该书的一个特色是几乎每道练习题都附有最先证明 该命题的人名和时间。使人能够感受到微分几何发展的脉搏。 《微分几何一百例》确实是一本很好的书， 这本书很薄，所以可以在两三天里面看完。 但是建议在看解答的时候最好先自己想一想， 因为书中有些题目的解法并不是最简洁的。 yjyao师兄猜得很准啊，我们上个学期考试的时候 有一道题目就是来源于这本书，当时做出的人不多。 （不过往往是这样，难的题目分值就少，真是%^*@） hehe，就补充这些了 【 在 dhj (undercover~~卧底人生) 的大作中提到: 】 : 补充一本： : 《微分几何》 苏步青 原著 姜国英 改写 : 就是那本黄颜色封面的，理图里有借 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:48pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: Mathematics 标 题: 微分流形 发信站: 日月光华站 (Wed Apr 18 16:23:54 2001), WWW-POST@193.52.24.113 现在想来讲两句"微分流形", 我想大概给94开的是第一次, 当时是作为基础专业的选修课的, 我是逃了三分之一的抽象代数课去听的 (当然,应该解释为为听这课逃掉了三分 之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^), 最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师 商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩 --那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A. 说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的 微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的 情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-( (当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的, 不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但 总是有点别扭的,我以为) 首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从 Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分 几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已. 复旦曾经有相当长的一段时间用 1.W.M.Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry" 作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦, 讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅, 但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细, 几乎所以的东西都是有详细证明的. 理图总书库里面有不少. 讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏 空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等. 中文书里面有 2.陈省身,陈维桓 "微分几何初步" 很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材, 我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈 还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但 还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧) 另外被认为写得比较好的中文书有 3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英 "黎曼几何初步" 这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了 --我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑 流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题, 书末更有一个索引,实在是本好书. 有胃口的话,还可以看看 4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and Applications" 的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过). 该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说 可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷 的第一章. 二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子, 另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思 (至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本 5.Gallot, Hulin, Lafontain "Introduction to Riemannian Geometry"(?) 是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好, 评价(我听到的)也很不错. 用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理 都是要明白的. J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的, 6.J.Milnor Topology from a differential point of view (中译本:从微分观点看拓扑) 7.J.Milnor Morse Theory (中译本:莫尔斯理论) 如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的. 讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等. 这里有 8.Spivak "Calculus on Manifolds"(?) (中文名字就叫"流形上的微积分")⒎至餍? 可以一看. 有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形 上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习, 不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少? 9.V.I.Arnold "Mathematical Mathods of Classical Mechanics" 里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了. 还可以一看的书有 10.R.Narasimhan "Analysis on Real and Complex Manifolds" (中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986) 陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正. 我想至少前一百页是可以看的. 11.苏竞存 "流形的拓扑学" 此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话, 很有意思. 有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的, 12.C. von Westenholz "Differential forms in Mthematical Physics" (这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式, 理图里面至少有一个版本) 这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有 证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子 没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能 给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了 一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如 说我那时候),应该说帮助不小. 至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何", 可能是太深了点,非物理学家不能理解. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:49pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 参考书目(补充) 发信站: 日月光华站 (Sun Jun 4 20:08:03 2000), WWW-POST@129.104.34.3 以下是北大的一位师兄做的补充 数学分析 欧阳光中,姚允龙 "数学分析" 这本书在外面的口碑不好，错误不少，据 说南开的一位老师曾笑称此书的作者为“老 糊涂”了。 高等代数 9.丘维声 "高等代数"(上,下) 本书的作者为61(?)年的全国高考状元,他自称在教课的那一年写作 经常至夜里二,三点. 单复变函数 11.张南岳,陈怀惠 "复变函数论选讲" 这本书中的错误不少,据说陈是个很有天赋的人,但 文革中受到很大打击,以至学风不很扎实. 微分几何 陈维桓"微分几何初步" 这本书确实写得不很清楚,陈 还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但 还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:49pm 发信人: yjyao (等待......未来), 信区: mathematics 标 题: 参考书目:阶段性总结(yjyao版) 发信站: 日月光华站 (Wed Jun 7 05:12:11 2000), WWW-POST@129.104.34.3 大学里面念过的本科的课程, 基本上就全部写完了, 感谢大家在这几个月里(默默地?)承受了 我的"酸"劲.\\bow 其实严格说来这里面除了参考书的名字 和简短的评论外,我还写了一大堆从某种 意义上说属于"题外"的话.我的想法是, 在我的意识中,数学不光是那些定义和公式, 数学还包括了为数众多的数学家 的思想,经历.仅仅局限于技术性的细节 是做不好数学的,我以为. 从技术上说,大学数学系的课程还有很多 没有写到,即使写到的这些,也有很多 需要补充,修改的地方,只不过... 我是没那心思了至少在近阶段. 希望有兴趣,胃口,功夫,...的大侠们 多多贡献,在这里先予感谢!\\bow ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (为避免任何对于\\bow的数目产生 误解,文章到此分成两截) 今年一月,在经历了三个月的情绪极端 低落以后,我打算开始重新规划自己的 未来(感谢上帝,这三个月总算没让我 精神崩溃,甚至还算干了点事情,学了点 东西,呵呵...).在处理了一些专业上的 原则性问题以后,想着自己还能干点什么, 这时候就有想到了BBS. BBS实在是个好地方,自从四年前在steve家 上了最早的日月光华开始,已经差不多有四 年了.(从来没有想过,上BBS的第四年里灌的 水是前三年灌的水的总和的三倍. 可能和心情有关吧!) 突然想起可以在这BBS上灌点稍微有意义 点的水,去年底写的那些94理基的故事 从效果上说,让我很好地把心情整理了 一下.也纯数偶然,就想起来写这参考书目. 应当说,写这些东西还是花了点功夫的, 从构思,找资料,到一个个字敲进电脑, 修修改改,一门课总也要花上一两周时间. 因此一稿三投连我自己也没有觉得有 什么不妥.好象这也不违反站规吧? 写着写着也就到了今天.又是一个可以做 "结"的日子.感谢各位这几个月来对我 的关心,帮助...还有宽容,感谢shun, Setver, zyc, steve, cavalry, doskey, anti, fit, standby, dhj, compass, beryl, littlebaby, darling, Virtual, zhmao, clamp, stoneheart, max, zypher, leifen, tiny, xdj, zych, txyz, DblHorn, julong, shasha夫妇,fancier...... 还有许多不在这BBS上的朋友,......当然,还有milka. 希望明天的太阳--无论是巴黎的, 还是上海的--升起的时候, 大家都能有个好心情. 再次谢谢大家!\\bow 2000.6.6 23:15 (GMT+0100) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:51pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 一份参考书目:说明 发信站: 日月光华 (2002年11月16日05:21:21 星期六) 在老板的办公室里面无意间翻到一份书目，感觉很有意思， 因为做出这份单子的人里面不乏一些堪称大家的人物。 我先把说明贴出来，以后每一两天贴一个分支吧: 这份书目是1992年1月做的，按照Pierre Schapira(巴黎13大)写的说明，这份书目是他应 Jean-Pierre Lemaire的要求为CIMPA(Centre International des Mathematiques Pures et Appliquees,国际纯粹与应用数学中心，1978年在法国建立的国际组织，主要的“上级 单位”是联合国教科文组织和法国科技部，法国教育部)做的。本来1985年的时候Jean Di eudonne为IMU/CDE(国际数学联盟/发展与交流委员会-Comission on Development and Ex change)做的书单，1986年CIMPA又找了一些其他人做了份书目，目前的这个主要是一个更 新的版本(他们后来又没有重新做过我不清楚)。 (CIMPA主要是组织一些在发展中国家的会议，讲习班等等。在各个国家都有相应的委员会 。中国的负责人原来是吴文俊先生，现在是李大潜先生。本月(2002年11月)18日即将在系 里举行的关于Ginzburg-Landau方程的讲习班就是在CIMPA的框架下举行的) 这份书目在每一个所划定的数学分支中，由Schapira向下列名单中的人物提出要求，最后 综合大家的意见，最后在每个分支给出一二十本法语或者英语的“基本的”参考书，水平 基本上以本科高年级为起点。不同“分支”之间可能有重叠。特别注明，说这份书目的起 草没有参考前面两份。 那张被咨询者的名单是很有意思的。我稍微做一点注： J.-P.Aubin, Paris IX A.Beauville,Nice M.Berger,IHES,通讯院士 D.Bertrand，Paris VI L.Birge,Paris VI J.-B.Bost,Paris XI L.Breen, Paris XIII A.Chenciner,Paris VII P.Ciarlet,目前在香港，院士，中法数学研究所前法方所长 A.Connes,College de France, IHES,院士，1982(3)年Fields A.Debiard, Paris XIII P.Dehuevels,Paris VI,院士 J.-P.Demailly,Grenoble,通讯院士 J.-M.Fontaine,Paris XI,院士 C.Goldstein,Paris XI P.Gerard, Paris XI C.Houzel,Paris XI G.Henniard,Paris XI L.Illusie,Paris XI J.-P.Kahane,Pairs XI,院士 G.Lebeau，Nice,通讯院士 J.-L.Loday，Strasbourg A.Marin,ENS Lyon M.Mignotte,Strasbourg J.Mouline Ollagner,Paris XII J.Neveu,Ecole Polytechnique F.Nier,Rennes G.Pisier, Paris VI&TAMU,院士 M.Rais,Poitiers D.Revuz,Paris VII G.Sabbagh,Paris VII Laurent Schwartz, Ecole POlytechnique(当时已退休)，院士，1950年Fields,2002.7.4 去世 Lionel Schwartz,Paris XIII J.-P.Serre,College de France,院士，1954年Fields J.Stern,Paris VII S.Sorin,Paris X B.Teissier,ENS Paris -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:52pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:1.逻辑 发信站: 日月光华 (2002年11月18日19:49:16 星期一) Barwise J. Handbook of Mathematical Logic, Studies in logic and the foundation of mathema tics n°90, North Holland, 1977 Barwise J. Admissible sets and structures--an approach to definability theory, Perspectiv es in Mathematical Logic, Springer-Verlag, 1975 Barwise J., Feferman S. Model-theoretic logics, Perspectives in Mathematical Logic, 1985 Chang C.C., Keisler H.J. Model Theory, North Holland, 1973 Ebbinghaus H.D., Flim J., Thomas W. Mathematical Logic, Unergraduate texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1984 Girard J.Y., Lafont Y., Taylor P. Proofs and types, Cambridge Tracts in Theoretical Computor Science n°7, Cambr idge Univ. Press, 1989 Godel K. Collected Works, Vol.I:1986, Vol.II:1990, Oxford Uni Press Jech T.J. Set Theory, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, 1978 Hinuley J.R., Sedlin J.-P. Introduction to Combinatorics and \lambda-calculus, London Math.Soc., Students texts 1, 1986 Krivine J.-L. Lambda Calcul, types et mod\`eles, Masson Paris, 1990 Kunen K. Set Theory, North Holland, 1980 Minsky M. Computation: finite and infinite machines, Prentice Hall Series in Automatic C omputation, Prentice Hall, 1967 Moschovakis Y.N. Descriptive set theory, Studies in logic and the Foundations of Mathematics n° 100, North Holland, 1980 Robinson J.A. Logic: form and function, The mechanization of deductive reasoning, University Press of Edinburgh, 1979 Rogers H.Jr Theory of recursive functions and effective computability, McGraw Hill, 1967 Schutte K. Proof Theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften n°225, Springer-V erlag, 1977 Soarse R.I. Recursively enumerable sets and degrees, Springer-Verlag, 1987 Stern J. Fonements Math\'ematiques de l'informatique, McGraw Hill, 1990 Tarski A. Logic, semantics, matamathematics, Clarendon Press, Oxford, 1956 Van Heijenoort J. From Frege to Godel, a source book in mathematical logic, 1879-1931, Harvard U niv. Press, Cambridge, MA,1967 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:52pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:2.组合，形式计算 发信站: 日月光华 (2002年11月19日06:26:51 星期二) Berger C. Graphes et Hypergraphes, Dunod, Paris-Bruxelles-Montr\'eral, 1973 (有英译本， Graphs and Hypergraphs) Comtet L. Analyse Combinatoires, 2 tomes, "Le Math\'ematiciens" n°4 et 5, PUF Paris 197 0 Davenport J., Siret Y.,Tournier E. Calcul formel, Syst\`eme et algorithmes de manipulations alg\'ebriques, Masson , Paris 1987 Macdonald I.G. Symmetric functions and hall polynomials, Clarendon Press, 1979 Graham R.L., Knuth D.E., Patashnik O. Concrete Mathematics, a foundation for computor science, dedicated to L.Euler( 1701-1783), Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1989 Knuth D.E. The Art of Computor Programing, Vol. 1,2,3, Addison-Wesley Publishing Company , Reading MA,1981 Lothaire M. Combinatorics on Words, Encyclopedia of Mathematics and its applications n°17 , Advanced book Program Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1983 (这套书的主编是Gian Caro-Rota, 有影印本) Mignotte M. Math\'ematiques pour le calcul formel, PUF,1989 (原注，Springer将出英文版) Sedgewick R. Algorithms, Addison-Wesley Publishing Company, Reading MA,1988 Tutte W.T. Graph Theory,Encyclopedia of Mathematics and its applications n°21, Advanced book Program Addison-Wesley Publishing Company, Menlo Park CA,1983 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:53pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:3.数论 发信站: 日月光华 (2002年11月20日13:39:41 星期三) Baker A. Transcendental number theory, Cambridge UP, 1975 Bombeiri E. Le grand cilbe dans la th\'eorie analytique des nombres, Asterique 17, S.M.F., Paris, 1974 Borel A., Casselman W. Automorphic forms, representations and L-functions, Proc. of Symp. in Pure Mat hs, vol. XXXIII, 1 and 2, AMS, Providence, 1979 Borevic Z.I., Shafarevich I.R. Th\'eorie des nombres, Gauthier-Villars, 1967 (英文本:Number theory / Borevich, Zenon Ivanovich ; Shafarevich, Igor' Rostisl avovich ; (Pure and applied mathematics ; 20) Academic Press, New York NY London , 196 6.) Bosch S.,Luetkebohmert W., Raynaud M. N\'eron Models, Ergebnisse des Mathematik und ihrer Grenzgbiete n°21, Springe r-Verlag, 1990 Cassels J.W.S. Introduction to the Geometry of Numbers, Springer-Verlag,1959 Cassels J.W.S, Fr\"ohlich A. Algebraic number theory, Sussex, Brighton, September 1-17, 1965, Academic Pres s, 1967 Cornell G., Silverman J. Arithmetic Geometry, Conference, Storrs, July 30-August 10, 1984, Springer-Ver lag, 1986 Hardy G.H., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, 1938-1984 Lang S. Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1970 (Springer-Verlag的GTM110应该就是这本书) Lang S. Cyclotomic Fields I et II, Graduate Texts in Mathematics n°121,Springer-verla g, 1990 (注:Cyclotomic fields ,GTM59,1978;Cyclotomic fields II,GTM69, 1980) Lang S. Fundamentals of Diophantine Geometry, Springer-Verlag, 1983 Serre J.-P. Corps Locaux, Actualit\'es Scientifiques n°1296,Hermann, 1968 (注:英文版Local fields, GTM67, Springer-Verlag,1979) Serre J.-P. Cours d'Arithm\'etique, Collection SUP, PUF, 1970 (注:英文版A Course in arithmetic,GTM 7,Springer-Verlag, 1973; 中文版 数论教程，冯克勤译，上海科技出版社) Serre J.-P. Oeuvres Compl\`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1986 (注:98年出了第四卷) Shimura G. Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions, Publications of the Mathematical Society of Japan n°11, Princeton UP, 1971 Silverman J. The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer-Verlag, 1986 Weil A. Oeuvres Compl\`etes, Vol.1,2,3, Springer-Verlag, 1980 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:53pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:4.代数，同调代数，范畴，层 发信站: 日月光华 (2002年11月23日03:09:52 星期六) Anderson, Fuller Rings and Categories of Modules, GTM 13, Springer-Verlag, 1973 Atiyah M., Macdonald I.G. Introduction to commutative algebra, Addison Wesley Series in Mathematics vol. 361, Addison-Wesley, Reading MA, 1969 Bourbaki N. Alg\`ebre commutative, ch.1 \`a 9,Masson, Paris 1983,1985 Cartan H., Eilenberg S. Homological Algebra, Princeton Mathematical Series Vol.19, Princeton UP, 1956 Gabriel P., Zisman M. Calculus of fraction and homotopy theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer grenzgebiete Vol.35, Springer-Verlag, 1967 Gelfand S., Manin Y. Methods of homological algebra, Springer-Verlag, 1992 Godement R. Topologie alg\'ebrique et th]'eorie des faisceaux, Hermann, 1964 Hilton P.J., Stammanbach U. A course in homological algebra, GTM 4, Springer-Verlag, 1971 Jacobson N. Basic Algebra, I,II, 2nd edition, Freeman, 1980 Kashiwara M., Schapira P. Sheaves on manifolds, Grundlehren Math. Wiss. 292, Spinger-Verlag, 1990 MacLane S. Homology, Grundlehren Math. Wiss. 114, Spinger-Verlag, 1967 MacLane S. Categories for the Working Mathematicians, GTM 5, Springer-Verlag, 1971 Matsumura Commutative ring theory, Cambridge studies in Advanced Math. Vol. 8, Cambridge UP, 1989 Serre J.-P. Alg\`ebre locale--Multiplicit\'e, LNM 11, Springer-Verlag, 1965 Zariski G., Samuel P. Commutative algebra, Vol. 1 & 2, Van Nostrand, 1958 (注:Springer-Verlag在GTM中翻印过，编号28,29) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:54pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:5.K-理论，C^*-代数 发信站: 日月光华 (2002年11月25日18:37:42 星期一) Atiyah M. K-theory, W.A.Benjamin Inc., 1967 Bass H. Introduction to some methods of algebraic K-theory, Colorado, August 24-28, 1973(Regional Conference Series in Mathematics, n°20), AMS, Providence 1974 Bass H. Algebraic K-theory, Mathematics Lecture Notes Series, Benjamin, 1968 Bass H. -"Classical" algebraic K-theory and connection with arithmetic, Seattle Research Sept. 1972, LNM 342,Springer-Verlag, 1972 -Hermitian K-theory and geometric applications, LNM 343. Springer-Verlag, 1973 -Higher K-theories, LNM 341, Springer-Verlag, 1973 Blackadar B. K-theory for operator algebras, Mathematical Sciences Research Institute Publications vol.5, Springer-Verlag,1986 (此书已经出了第二版，不过变动不是很大) Dixmier J. Les alg\`ebres d'op\'erateurs dans l'espace Hilbertien(alg\`ebres de von Neumann), Cahiers Scientifiques n°25,Gauthier-Villars,1969(这是第二版) (英译本 Von Neumann Algebras,国内曾经影印过) Dixmier J. Les C^*-alg\`ebres et leurs repr\'esentations, Cahiers Scientifiques n°29， Gauthier-Villars, 1964 (英译本 C^*-algebras Algebras,国内曾经影印过) Kadison R., Ringerose J. Fundamentals of the theory of operator algebras, vol. 1-2,Academic Press, 1983-1986 (这书国内也影印过。后来又第III,IV卷，分别是前两卷的习题) Karoubi M. K-theory, an introduction, Grundlehren Math. Wiss. 226, Springer-Verlag, 1978 Milnor J. Introduction to algebraic K-theory, Annals od Mathematical Stidies n°72, Princeton UP, 1971 Takesaki M. Theory of operator algebra, vol.1, Springer-Verlag 197 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:54pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:6.代数几何 发信站: 日月光华 (2002年11月27日05:21:17 星期三) Arbarello E., Cornalba M., Friffiths P.A., Harris J. Geometry of algebraic curves, GMW n°267, Springer-Verlag,1985 Barth W., Peters C.,Van der Ven A. Compact Complex Surfaces, Ergibnisse Math. n°4, Springer-Verlag, 1984 Beauville A. Surfaces alg\'ebriques complexes, Ast\'erique 54, SMF, 1978 Deligne P., Boutot J.F., Grothendieck Cohomologie \'etale: les points de d\'epart, in: S\'em. G\'eom\'etrie Alg\'ebr ique du Bois Marie,SGA, 4 (1/2), LNM 269, Springer-Verlag, 1977 Deligne P., Katz N. Groupe de monodromie en g\'eom\'etrie alg\'ebrique, in:S\'em. G\'eom\'etrie Al g\'ebrique 7 II, LNM 340, Springer-Verlag, 1973 Fulton W. Intersection Theory, Ergebnisse Math. n°2, Springer-Verlag, 1984 Griffiths P., Harris J. Principles of Algebraic geometry, Coll. Pure and Applied Mathematics, J. Wiley , 1978 Grothendieck A., Dieudonn\'e J. El\'ements de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique I, G.M.W. n°166, Springer-Verlag, 19 71 Grothendieck A. Fondaments de la G\'eom\'etrie Alg\'ebrique, Institut Henri Poincar\'e Grothendieck A., Raynaud M.,Rim D.S. Groupes de monodromie en g\'eom\'etrie alg\'ebrique, in:S\'em. G\'eom\'etrie A lg\'ebrique 7,I 1967-1969, LNM 288, Springer-Verlag, 1972 Hartshorne R. Algebraic Geometry, GTM52,Springer-Verlag, 1977 Milne J. Etale Cohomology, Princeton Mathematical Series n°33, Princeton UP, 1980 Mumford D. Abelian Varieties, Oxford UP, 1974 Mumford D. Lectures on curves on an algebraic surface, Ann. Math. Studies 59, Princeton U P, 1966 Mumford D. The red book of schemes, LNM 1358, Springer-Verlag, 1988 Mumford D., Fogarty J. eometric Invariant Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Mathematik und ihren Grenzg ebiete n°34, Springer-Verlag, 1982 S\'em. G\'eom. Alg\'ebrique I Grothendieck Rev\^etements \'etales et groupe fondamental, Bois Marie, 1960-61, LNM 224, Sp ringer-verlag, 1971 Spinger T.A. Linear algebraic groups, Progress in Mathematics n°9, Birkha\"user, 1981 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:54pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:7.群，李群和李代数 发信站: 日月光华 (2002年11月27日12:17:53 星期三) Bernat P., Conze Z. et al. Repr\'esentation des groupes de Lie r\'esolubles, Monographies SMF n°4,Dunod, Paris 1972 Borel A. Linear algebraic groups, GTM 126, Springer-Verlag, 2nd ed., 1991 Carter R.W. Finite groups of Lie type, conjugacy classes and complex characters, Pures and Applied Mathematics, John Wiley and Sons, 1985 Coxeter H.S.M., Moser W.O. Generators and relations for discrete groups, Ergeb. Math. 14, 3rd ed. Springer-Verlag, 1984 Curtis C.W., Reiner I. Methods of representation theory with wpplications to finite groups and orders, I & II, Pure and Applied Math., john Wiley and Sons, 1981,1987 Dixmier J. Envelopping algebras, North Holland, Amsterdam, 1974 (法文版: Alg\`ebres enveloppantes; Cahiers Scientifiques n°37, Gauthier Villars, Paris 1974) Gorenstein D. Finite groups, harper and Row - Chelsea, New York, 1968 Helgason S. Differential geometry, Lie groups and Symmetric Spaces, Pures and Applied Mathematics n°80, Academic Press, 1978 Hochschild G. The structure of Lie groups, Holden-Day Series Mathematics, San Francisco, 1965 (法文版: La structure des groupes de Lie, Monographies Univ. Math., Dunod, Paris 1968) Humphreys J. Introduction to Lie algebras and representation theory, GTM 9, Springer-Verlag, 2nd ed., 1972 Kac V. Infinite dimensional Lie algebras, Cambridge UP, 3rd ed., 1990 Kirillov A. El\'ement de la th\'eorie des repr\'esentations, Edition MIR, Moscou, 1974 或者 Grundlehren Math. Wiss. 220, Springer-Verlag, 1976 Knapp A.W. Representation Theory of Semi-simple Lie Groups : an Overview based on examples, Princeton Mathematical Series n°36, Princeton UP, 1986 Serre J.-P. Repr\'esentation lin\'eaires des groupes finis, Hermann, Paris, 1971 (英文版: Linear representation od linear groups, GTM 42, Springer-Verlag, 1974) Varadarajan V.S. LIe groups, Lie algebras and their representations, GTM 102, Springer-Verlag, 1984 -- -------------------------------- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:55pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:8.代数拓扑，微分拓扑 发信站: 日月光华 (2002年12月03日09:05:49 星期二) Adams J.-F. Algebraic Ropology, a student's guide, London Mathematical Society lecture note n°4, Cambridge U.Press, 1972 Adams J.-F. Stable homotopyu and generalized homology, Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, 1974 Bott R., Tu L.W. Differential forms in algebraic topology, GTM 82, Springer-Verlag, 1982 Browder W. Surgery of simply connected manifolds, EMG 65,; Springer-Verlag, 1972 Bousfield A., Kan D. Homotopy limits, completions and localizations, LNM 304, Springer-Verlag, 1972 De Rham G. Vari\'et\'es diff\'erentiables, Hermann, Paris, 1955 Hirsch M. Differential topology, GTM 33, springer-Verlag, 1976 Hirzebruch F. Topological methods in Algebraic geometry, Grundlehren Math. Wiss. 131, Springer-Verlag, 1966 Masden I., Milgram R. Classifying spaces for surgery and cobordism of manifolds, Annals Math Studies 92, Princeton UP, 1979 Massey W.S. A basic course in algebraic topology, GTM 127, Springer-Verlag, 1991 May J.P. Simplicial objects in algebraic topology, University of Chicago Press-Van Nostrand, 1967 Milnor J. Topology from the differentiable view point, the Univ. Press of Virginia, Charlottesville 1965 (注：后来Princeton UP重印过，有上海科技的中译本“从微分 观点看拓扑”) Milnor J.W. Morse Thoery, Annals of Mathematical Studies n°51, Princeton UP, 1963 (注，有科学出版社的中译本“莫尔斯理论”，在现代数学译丛 里面) Milnor J.W. Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton UP, 1965 Milnor J., Stassheff J.D. Characteristic classes, Annal of Mathematical Studies n°76,1974 Rohlin V., Fuchs D. Premiers cours de topologie qlg\'ebrique, chapitres g\'eom\'etriques, MIR, Moscou, 1981 Rolfsen D. Knots and links, Math. Lect. Series 7, Publ. or Perish, 1976(new ed. 1991) Steenrod N. The topology of Fiber bundles, Princeton Mathematical Series n°14, Princeton UP, 1974 Whitehead G. Elements of homotopy theory, GTM 61, Springer-Verlag, 1978 Whitney H. Geometric integration theory, Princeton UP, 1957 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:55pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:9.微分几何 发信站: 日月光华 (2002年12月04日06:22:24 星期三) Abraham R., Marsden J. Foundations of mechanics, Cummings Publ.,1978 Berger M., Gostiaux B. Differential Geometry, GTM n°115, Springer-Verlag,1988 Berline N.,Getwler E., Vergne M. Heat Kernal and Dirac Operators, Grundlehren Math. Wiss. n°298, Springer-Verl ag, 1992 (注：这本书96年有稍作修订的新版。国内找得到扫描的电子版) Bourbaki N. Vari\'et\'es,(fascicules de r\'esultats), Paragraphes 1 \`a 15(2 Vol.), Diffus ion CCLS, Paris, 1983 (注：相应书的名字是Vari\'et\'es r\'eelles et analytiques, 1967,1971。1998年重印 ) Burago Y., Zalgaller V. Geometric inequalities, Grundlehren Math. Wiss. 285, Springer-Verlag, 1988 Chavel I. Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press, 1984 Cheeger J., Ebin D.G. Comparison theorems in Riemannian Geometry, New Holland Mathematical LIbrary n °9, North-Holland, 1975 Doubrovine B., Novikov S., Fomenko A. G\'eom\'etrie contemporaine, m\'ethodes et applications, 1\`ere partie: G\'eom\{etrie des surfaces, des groupes de transformations et d es champs, 2\`eme partie: G\'eom\'etrie et topologie des vari\'et\'es, 3\`eme partie: M\'ethode de la th\'eorie de l'homo logie, MIR, 1982 (注：英译本GTM 93,104,120，世界图书影印过) Gallot S., Hulin D., Lafontaine J. Riemannian Geometry, Universitext, Springer-Verlag, 1990 Guillemin V., Sternberg S. Symplectic techniques in physics, Cambridge University Press, 1984 Helgason S. Differential Geometry, Lie groups and symmetric spaces, Pure and Applied Mathe matics n°80, Academic Press, 1978 (国内有影印本) Kobayashi S., Nomizu N. Foundations of Differential Geometry, Interscience, Tracts in Pure and Applied Mathematics n°15, Vol. I 1963, Vol. II 1969 (国内有影印本;原版后来Addison-Wesley重印过) Lawson H.B., Michelsohn M.L. Spin Geometry, Princeton UP, 1989 (国内有扫描的电子版) Milnor J.W. Morse Theory, Annals of Mathematical Studies n°51, Princeton UP, 1963 (注，有科学出版社的中译本“莫尔斯理论”，在现代数学译丛里面) Morgan F. Geometric Measure Theory, Academic Press, 1988 Osserman R. A Survey of Minimal Surfaces, Dover Public. inc. 1986 (此书我们系自己印过) Spivak M. A comprehensive introduction to differential geometry(5 volumes), Publish or P erish, 1979 (有影印本) Warner W.F. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Springer-Verlag, 1983 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:56pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:10.动力系统 发信站: 日月光华 (2002年12月05日22:10:55 星期四) Arnold V. Equation differentielles ordinaire, Edition MIR, Moscou, 1974 (注；显然有英文本，中译本是科学出版的"常微分方程"，现代数学译丛) Arnold V. Chapitres suppl\'ementaires de la th\'eorie des equations diff\'erentielles or dinaires, Edition MIR, Moscou, 1980 (注；显然有英文本，中译本我记不清了) Arnold V. M\'ethode math\'ematiques de la m\'ecanique classique, Edition MIR, Moscou, 19 76 (注；英文本GTM60，中译本是高等教育出版的"经典力学的数学方法"，齐民友译) Fathi A., Laudenbach F., Poenaru Travaux de Thurston sur les surfaces, S\'eminaire d'Orsay, Ast\'eriques 66-67, S.M.F., 1979 Gromov M. Partial Differential Relations, Ergebnisse Math. n°9, Springer-Verlag, 1986 Guckenheimer J., Holmes P. Non linear oscillations, dynamical systems qnd bifurcations of vector fields, Appl. Math. Sci. 42,Springer-Verlag 1983 Hirsch M.W., Smale S. Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Pure and Applied Mathematics n°60, Academic Press, 1974 (注：有中译本，分两册) Moser J. Stable and random motion in dynamical systems with special emphasis on celesti al mechanics, Princeton UP, 1973,1977 Novikov S., Manako S., Pitaevskii L., Zakharov V. Theory of solitions, Consultant Bureau, New York, 1984 Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems, Springer-Verlag, 1982 (注；有中译本) Poincar\'e H. M\'ethodes nouvelles de la m\'ecanique c\'eleste, 3 volumes: Tome 1" Solutions p\'eriodiques, non-existence des int\'egrales uniformes, solutions asymptotiq ues,Gauthiers-Villars, 1892; Tome 2: M\'ethodes de Newcomb, Gylden, Lindstedt et Bohlin, Gauthiers-Villars, 1893;Tome 3: invariants int\'egraux, solutions p \'eriodiques du deuxi\`eme genre, solutions doublement asymptotiques, Gauthier s-Villars, 1899 Shub M. Stabilit\'e globale des syst\`emes dynamiques, Ast\'erique 56, S.M.F., 1978 Siegel C.L., Moser J.K. Lecture on celestial mechanics, Grundlehren Math. Wiss. 187, Springer-Verlag, 1971 Smale S. The dynamics of time, essays on dynamical systems economic processes and relat ed topics, Springer-Verlag, 1980 Sinai Y. Introduction to ergodic theory, Mathematical Notes n°18, Princeton UP, 1976 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:57pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:11.实分析，调和分析 发信站: 日月光华 (2002年12月09日02:29:08 星期一) Bqnqch S. Oeuvres compl\`etes, Vol. 2, PMW,Warsaw, 1979 (主要内容是他的那本大书 Th\'eorie des Op\'erations Lin\'eaires,1932) Bergh-L\¨ofstr\¨om Interpolation spaces, an introduction, Grundlehren des Mathematischen Wissensc haften n°223, Springer-Verlag, 1976 Bochner S. Oeuvres compl\`etes Bourbaki N. Fonction d'une variable r\'eelle, Hermann, 1976 Choquet G. Lectures on Analysis, vol1: integration and topological vector spaces, vol.2: representation theory, Benjamin, 1969 Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables, John Wiley Interscience, 1970 Garnett J.B. Bounded analytic functions, Pure and Applied Mathematics n°96, Academic Press , 1981 Gelfand I.M., Vilenkin N.Y. Les distributions vol. IV, Application \`a l'analyse harmonique, Dunod, 1964 (注：就是那套Generalized Functions,我不能肯定第四卷是否有中译本) Hoffman K. Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, 1965 (注：后来Dover重印过) Kahane J.-P. Some random series of functions, Cambridge UP, 1985 Kahane J.-P., Salem R. Ensembles parfaits er s\'eries trigonomiques, Hermann, 1963 Katznelson Y. An introduction to harmonic analysis, John Wiley, 1968 K\¨orner T.W. Fourier Analysis, Cambridge UP, 1988 Mayer Y. Ondelettes et op\'erateurs, 3 vol., Hermann, Paris, 1990-1992 (注：有中译本，“小波与算子”，共两册，原文第二、三卷合为一册，高等教育) Riemann B. Oeuvres Compl\`etes, Gauthiers-Villars 1898, Gesammelt mathematische Werke, Sp ringer, 1990 Rudin W. Fourier analysis on groups, Intersciences tracts in Pure and Applied Mathemati cs n°12,Intersciences, 1962 Salem R. Algebraic numbers and Fourier analysis, Heath and comp., 1963 Schwartz L. Th\'eorie des distributions, Hermann, Paris, 1966 Stein E.M. Singular Integrals and Differentiability properties of functions, Princeton Ma thematical Studies n°30, Princeton UP, 1970 Stein E.M., Weiss G. An introduction to Fourier analysis on euclidean spaces, Princeton UP, 1971 (注：有中译本，“欧几里德空间上的富立叶分析”，上海科技) Whittaker E.T., Watson G.N. A course of modern analysis, Cambridge UP, 4th Ed. 1965 Zygmund A. Trigonometric seires, Vol. 1 & 2, Cambridge UP, 1959 Zygmund A. Oeuvres compl\`etes 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:58pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:12.泛函分析 发信站: 日月光华 (2002年12月09日02:30:40 星期一) Banach S. Th\'eorie des Op\'erations lin\'eaires,1932 Beauzamy B. Introduction to banach spaces and their geometry, North Holland Mathematical S tudies n°68, North Holland, 1985 Bratelli O., Robinson D. Operator algebras and quantum statistical mechanics, Springer-Verlag, 1979-198 1 Br\'ezis H. Analyse fonctionnelle, th\'eorie et applications, Math\'ematiquess Appliqu\'ee s pour la ma\^itrise, Masson, 1983 (注；如果顺利的话，两年内大家有希望看到中译本) Colojoara I. - Foias C. Theory of generalized spectral operators, Series in Mathematics Texts n°9, Go rdon and Breach, 1968 Dunford N., Schwarz J.T. Linear operators Vol.I: general theory, Vol. II: spectral theory, self adjoint operators in Hilbert space, Pure and Applied Mathematics, Interscience Publishers, 1963 (注；有影印本) Gohberg I.C., Krein M.G. Introduction to the theory of linear, nonself adjoint operators, Transl. Math. Monographs n°18, Amer. Math. Soc., Providence, RI,1969 Grothendieck A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires, Mem. AMS 16,1955 Grothendieck A. Espaces vectoriels topologiques, Sociedade de Matematica, San paulo, 1964 Hille E., Phillips R.S. Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXI, AMS, 1957 (注；有中译本) Hoffman K. Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall, 1965 (注：后来Dover重印过) Pisier G. Factorization of linear operators and geometry of Banach spaces, Columbia June 25-29, 1984, CBMS n°60, AMS, Providence (reprinted with corrections, 1986) Schwartz L. Analyse 2\`eme partie: topologie g\'en\'erale et analyse fonctionnelle, Enseig nement des Sciences n°11, Hermann, 1970 Von Neumann J. Collected works, Vol. III: Rings of operators, Pergamon Press, 1961 (注：有影印本) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:58pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 13.复分析，解析几何，奇性 发信站: 日月光华 (2002年12月10日06:15:37 星期二) Banicaa C., Stanasila C.O. M\'ethodes alg\'ebriques dans la th\'eorie globale des espaces complexes I-II, Gauthiers-Villars, Bordas, 1977 Benedetti R.,Risler J.J. Real algebraic and semi-algebraic sets, Actualit\'es Math\'ematiques, Hermann, Paris, 1990 Bochnak J., Coste M. G\'eom\'etrie alg\'ebrique r\'eelle. Ergebnisse Math. n°12, Springer-Verlag, 1987 Cartan H. Th\'eorie \'el\'ementaire des fonctions d'une ou plusieurs variables complexes , Hermann, Paris, 1961 (注：有余家荣先生的中译本，高等教育) Forster O. Lectures on Riemann Surfaces, GTM 81, Springer-Verlag, 1987 Goresky M., Macpherson R. Stratified Morse Theory, Ergebnisse Math. n°14, Springer-Verlag, 1988 Grauert H., Remmert R. Coherent analytic sheaves, Grundlehren der Math. Wissenschaften 265, Springer- Verlag, 1984 (注：有影印本) Griffiths P., Harris J. Principles of alge*braic geometry, Pure and Applied Mathematics, Wiley, New Yo rk, 1978 Gunning R.C., Rossi H. Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, Engewood Cliffs, N.J.,1965 (注：此书后来Gunning一个人改编成三卷的“Introduction to holomorphic functions of several variables”，有影印本) Henkin G., Leiterer J. Andreotti-Grauert theory by integral formulas, Birkhauser, 1988 H\¨ormander L. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland Math. Library, Vol.7, Amsterdam, 3rd ed. , 1990 Lelong P.,Gruman L. Entire functions of several complex varaibles, Grundlehren der math. Wissensch aften 282, Springer-Verlag, 1986 Morrow J., Kodaira H. Complex Manifolds, selected topics in Math., Rinehart and Winston Inc., New yo rk, 1971 Milnor J. Singular points of complex hypersurfaces, Annals Math. Studies 61, Princeton UP, 1968 Narasimhan R. Introduction to the theory of analytic spaces, LNM 25, Springer-Verlag, 1966 Range R.M. Holomorphic functions and integral representations in several complex variables, GTM 108, Springer-Verlag 1986 (注：有影印本，从这个影印本可以看出世界图书管这事情的人 其实是不怎么懂数学的) Rudin W. Real and Complex Analysis, Mc Graw-Hill, 1987 (注：有影印本) Weil A. Vari\'et\'es k\¨ahl\'eriennes, Publication de l'Institut de Math\'ematiques d e l'Universit\'e de Nancago,Actualit\'es Scientifiques et Industrielles n°126 7, Hermann, Paris, 1958 Wells R. Differential analysis on complex manifolds, GTM 65,2nd ed.,Springer-Verlag, 19 80 (注：有影印本) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:59pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:14.线性偏微分方程，D-模 发信站: 日月光华 (2002年12月12日07:27:47 星期四) Bj\¨ork J.-E. Rings of Differential Operators, North Holland Boutet de Monvel L., Guillemin V. The spectral theory of Toeplitz operators, Annals Math. Studies n°99, Princeton UP, 1981 Chazarain-Piriou Introduction \`a la th\'eorie des \'equations aux d\'eriv\'ees partielles, Gauthier-Villars, 1981 Hormander L. The analysis of linear partial differential operators, Grundlehren Math. Wiss. 256,257,274,275, Springer-Verlag, 1983,1985 (注：全套都有影印本) Kashiwara M. Systems of mocrodifferential equations, Progress in Math. 34, Birkh\¨auser, 1983 Kashiwara M., Kawai T., Kimura T. Foundation od algebraic analysis, Princeton Mathematical Series n°37, Princeton UP, 1986 Kashiwara M., Schapira P. Sheaves on manifolds, Grundlehren Math. Wiss. 292, Springer-Verlag, 1990 Lax P., Phillips Scattering theory, Pure and Applied Mathematics n°26,Academic Press, 1967 Lions J.-L., Magenes E. Probl\`emes aux limites non homog\`enes et applications, 3 volumes, Travaux et Recherches Math\'ematiques, n° 17,18,20, Dunod, 1968-1970 Maz'ja V.G. Sobolev Spaces, Springer-Verlag, 1985 Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics, vol.1: functional analysis, vol. 2: Fourier analysis, self-adjointness, vol.3: scattering theory, vol. 4: analysis of operators, Academic Press, 1975-1980 Schapira P. Microdifferential systems in the complex domain, Grundlehren Math. Wiss. 269, Springer-Verlag, 1985 Schwartz L. M\'ethodes math\'ematiques pour les sciences physiques, Hermann, 1965 Shubin M. Pseudo-differential operators and spectral theory, Springer-Verlag, 1987 Wasow W. Asymptotic expansions for ordinary differential equations, Kreiger Publ. Comp. , New York, 1976 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:59pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:15.非线性偏微分方程 发信站: 日月光华 (2002年12月14日05:14:16 星期六) Alinhac S., G\'erard P. Op\'rateurs pseudo-diff\'erentiels et th\'eor\`eme de Nash-Moser, Coll. Savoir Actuels, Inter-\'editions/CNRS, 1991 (注：或许三五年内会有中译本吧) Aubin T. Non linear analysis on Manifolds, Monge-Amp\`ere equations, GMW n°252, Springer-Verlag, 1982 Bensoussan, Lions, Papanicolaou Asymptotic analysis for period structures, Studies ini Mathematics and its Applications n°5, North Holland,1978 Ciarlet P.G. Mathematical elasticity, Vol. 1: three dimensional elasticity, North-Holland, Amsterdam, 1988 Courant R., Friedrichs Supersonic flows and shock waves, Pure and Applied Mathematics n°1,Interscience Publishers, New York, 1948 Evans L.C. Weak concergence methods for nonlinear partial differential equations, CBMS Regional conference series in Mathematics n°74, AMS, 1990 Gilbarg, Trudinger Elliptic partial differential equations of second order, GMW n°224, Springer-Verlag, 1977 (注：这是第一版，有中译本，上海科技。此后英文又出了第二版) Ladyzhenskaia The Mathematical theory of viscous incompressible flow, Gordon and Breach (注：有中译本，“粘性不可压缩流体的数学理论”，上海科技) Majda Compressible fluid low and systems of conservation laws in several space varia bles, Applied Math. Sciences n°53, Springer-verlag, 1984 Sanchez-Palencia Non homogeneous media and vibration theory, LNP 127,Springer-Verlag, 1980 Smoller J. Shock waves and reaction-diffusion equations, GMW n°258, Springer-Verlag, 198 3 (注：世界图书影印过) Strauss W. Non Linear wave equations, CBMS Regional conference series in Mathematics n°73, AMS, 1989 Whitham G.B. Linear and nonlinear waves; Interscience Pure and Applied mathematics, Wiley, 1974 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 08:59pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:16.数学物理 发信站: 日月光华 (2002年12月15日08:07:28 星期天) Arnol'd V.I. Mathematical Methods od classical mechanics, GTM 60, Springer-Verlag, 1989 (注；中译本是高等教育出版的"经典力学的数学方法"，齐民友译) Bratteli O., Robinson D.W. Operator algebras and quantum statistical mechanics,Springer-Verlag, 1979 Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics, 2 volums, Interscience, 1962 (注：中译本，“数学物理方法”，科学) Glimm J., Jaffe A. Quantum physics, a functional integral point of view, Springer-Verlag, 1981 (注：有影印本) Hawking S.W., Ellis G.F.R. The large scale structure of space-time, Cambridge UP, 1973 (注：有影印本) Itzykson C., Zuber J.-B. Quantum field theory, Mc Graw Hill, 1980 (注：有中译本,科学) Misner W.,Thorne K.S.,Wheeler J.A. Gravitation, W.H.Freeman and co., 1973 Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics, vol.1: functional analysis, vol. 2: Fo urier analysis, self-adjointness, vol.3: scattering theory, vol. 4: analysis o f operators, Academic Press, 1975-1980 Thirring W. A course in mathematical physics, 4 volumes, Springer-Verlag, 1978-1981 Weyl H. The theory of groups and quantum mechanics, Dover,1950 (注：有中译本，“群论和量子力学”，上海科技) Whittaker E.T. A Treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies, 5th editi on, Cambridge UP,1988 (reissued inthe Cambridge Mathematical Library Series) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:01pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:17.数值分析 发信站: 日月光华 (2002年12月15日16:21:13 星期天) Agochkov V., Marchouk G. Introduction aux m\'ethodes des \'el\'ements finis, Ed. MIR, Moscou, 1985 Bakhvalov N. M\'ethodes num\'eriques, Ed. MIR, Moscou, 1976 Bender C.M., Orszag S.A. Advanced mathematical methods for scientists and engineers, McGrawHill, 1978 Ciarlet P.G. The finite element method for elliptic problems, North-Holland, Amsterdam, 197 8 Ciarlet P.G. Introduction to numerical linear algebra and optimisation, Cambridge UP, 1989 Ciarlet P.G., Lions J.-L. Handbook of numerical analysis,vol.2: Finite element methods(part 1), North-Ho lland, Amsterdam, 1991 Crouzeix M.,Mignot A.L. Analyse num\'erique des \'equations diff\'erentielles, Math\'ematiques Appliqu \'ees pour la ma\^itrise, Masson, 1984 Dautray R., Lions J.-L. Mathematical analysis and numerical methods for science and technology(6 vol.) . vol. 1: physical origins and claasical methods, vol. 2: functional and varia tional methods, vol. 3: spectral theory and applications, vol. 4: integral equ ations and numerical methods, Springer-verlag, 1988-1990 Girault V.,Raviart P.A. Finite element methods for Navier-Stokes equations theory and algorithms, Spri nger Seires in Computational Mathematics n°5, Springer-Verlag,1986 Glowinski R. Numerical methods for nonlinear variational problems, Springer Series in Compu tational Physics, Springer-Verlag, 1984 Golub G.H., Van Loan C.F. Matrix computations, 2nd. ed., John Hopkins UP, 1989 (注：有中译本，“矩阵计算”，科学) Lascaux P.,Theodor R. Analyse num\'erique matricielle appliqu\'ee \`a l'art de l'ing\'enieur, 2 volu mes, Masson, Paris, 1986/1987 Raviart P.A., Thomas J.M. Introduction \`a l'analyse num\'erique des \'equations aux d\'eriv\'ees partie lles, Math\'ematiques Appliqu\'ees pour la ma\^itrise, Masson, 1983 Stoer J.,Bulirsch R. Introduction to numerical analysis, Springer-Verlag, 1980 Strang G. Introduction to applied mathematics, Wellesley, Cambridge Press, 1986 Temam R. Navier-Stokes equations and numerical analysis, thirs revised version, North H olland, Amsterdam, 1984 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:01pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:18.概率 发信站: 日月光华 (2002年12月16日03:46:32 星期一) Bellingsley P. Probability and measure, John Wiley and Sons, 1979 Bremaud P. Point processes and queues, Martingales dynamics, Springer-Verlag, 1981 Chung K.L. Lectures from Markov processes to Brownian motion, Springer-Verlag, 1982 Cornfeld I.P., Fomin S.V., Sinai Ya. G. Ergodic theory, GMW n°245, Springer-Verlag, 1982 Dellacherie C., Meyer P.-A. Probabilit\'es et potentiiel, 4 Vol., Hermann, Paris, 1976,1980,1983,1987 Deuschel J.D., Stroock D.W. Large deviations, Academic Press, 1989 Ethier S.N., Kurtz T.G. Markov processes, characterization and convergence, Wiley-Ineterscience, 1986 Feller W. Qn introduction to probability theory and its applications, vol. 2, Wiley, 196 6 (注：有中译本,"概率论及其应用"，科学) Fleming W.H., Rishel R.W. Deterministic ans stochastic optimal control, Applications of Mathematics n°1 , Springer-Verlag, 1975 Ikeda, Watanabe Stochastic differential equations and diffusion processes, North-Holland, 1989 Karlin S. A first course in stochastic processes, 3rd edition, Academic Press, 1975 Liggett T.M. Interacting particle systems, Springer-Verlag, 1985 Neveu J. Martingales \`a temps discret, Masson, Paris, 1972 Revuz D., Yor M. Continuous martingales and Brownian motion, GMW n°293, Springer-Verlag, 1991 Rogers L.C., Williams D. Diffusions, Markov processes and martingales, Vol. 2, Wiley, 1987 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:02pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: Re: 参考书目:18.概率(zz) 发信站: 日月光华 (2002年12月18日04:09:16 星期三) 发信人: SDE (sde), 信区: Mathematics 标 题: Re: 参考书目:18.概率(zz) 发信站: 北大未名站 (2002年12月16日20:08:32 星期一), 转信 K.D. Elworthy Stochastic differential equations on manifolds D. Elworthy, Y. Le Jan, Xue-Mei Li On the geometry of diffusion operators and stochastic flows 和Ikeda，Watanabe的书第五章后一样，都是讲流形上 随机过程的。 【 在 caldream (我是小猪我怕谁) 的大作中提到: 】 : 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics : 标 题: 参考书目:18.概率 : 发信站: 日月光华 (2002年12月16日03:46:32 星期一) : Bellingsley P. : Probability and measure, John Wiley and Sons, 1979 : Bremaud P. : Point processes and queues, Martingales dynamics, Springer-Verlag, 1981 : Chung K.L. : Lectures from Markov processes to Brownian motion, Springer-Verlag, 1982 : Cornfeld I.P., Fomin S.V., Sinai Ya. G. : ........................... -- ※ 来源:·北大未名站 bbs.pku.edu.cn·[FROM: 202.113.16.117] 发信人: SDE (sde), 信区: Mathematics 标 题: Re: 参考书目:18.概率(zz) 发信站: 北大未名站 (2002年12月17日14:05:33 星期二), 转信 K.D Elworthy, Stochastic differential equations on manifolds,2ed, LMS,1982 K.D Elworthy, Geometric aspects of diffusion on manifolds, LNM(1362)其中的一篇,1988， Hsu, Stochastic analysis on manifolds,AMS -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:02pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:19.统计 发信站: 日月光华 (2002年12月17日06:04:38 星期二) Anderson T.W. An introduction to multivariate statistical analysis, Wiley, 1958 Bickel P.J., Docksum K.A. Mathematical statistics, Holden day, 1976 Borovkov A. Statistique math\'ematique, Edition MIR, Moscou, 1987 Csorgo M., Revesz P. Strong approximations in probability and statistics, Academic Press, 1981 Dacunha-Castelle D., Duflo M. Probabilit\'es et statistiques, I Probl\`emes \`a temps fixe, II Probl\`emes \ `a temps mobile, Masson, Paris, 1990 Hajek J., Sidak Z. Theory of rank tests, Academic Press, 1967 Ibragimov I.A., Has'minskii R.Z. Statistical estimation, asymptotic theory, Springer-Vermag, 1981 Kendall M., Stuart A. The advanced theory of statistics, Vol. 1,2,3, Griffin, 1969 Konijn H.S. Statistical theory of sample survey design and snalysis, North-Holland, 1973 Le Cam L.M. Asymptotic methods in statistical decision theory, Springer Series in Statisti cs, Springer-Verlag, 1986 Le Cam L.M., Lo Yang G. Asymptotics in statistics, some basic concepts, Springer-Verlag, 1990 Lehman E.L. Theory of point estimation, Wiley, 1983 Lehman E.L. Testing statistical hypotheses, Wiley, 1987 Mood A.M., Graybill F.A.,Boes D.C. Introduction to the theory of statistics, Mac Graw Hill, 1974 Muirhead R.J. Aspects of multivariate statistical theory, Wiley, 1982 Scheffe H. The analysis of variance, Wiley, 1959 Serfling R.J. Approximation theorems of mathematical statistics, Wiley, 1980 Shorack G., Wellner J.A. Empirical processes with applications to statistics, Wiley 1986 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:03pm 发信人: UCL (University College, London), 信区: Mathematics 标 题: Re: 参考书目:19.统计 发信站: 日月光华 (2002年12月18日08:24:21 星期三), 站内信件 hoho 总算等到这一辑乐，虽然去看的概率为0 顺手补充一本Mathematical Statistics and Data Analysis Berkeley的John.A.Rice写的 我们几个同学公认这是统计学到现在看到的最好的一本书 其实许多学校都用这本书做教材的。英美都有 【 在 yjyao (poly) 的大作中提到: 】 : : : Anderson T.W. : An introduction to multivariate statistical analysis, Wiley, 1958 : : Bickel P.J., Docksum K.A. : Mathematical statistics, Holden day, 1976 : : Borovkov A. : Statistique math\'ematique, Edition MIR, Moscou, 1987 : .................（以下省略） 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:03pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: Re： 参考书目:19.统计(zz) 发信站: 日月光华 (2002年12月19日16:04:17 星期四) 发信人: hillpig (（山猪）), 信区: Mathematics 标 题: Re: Re： 参考书目:19.统计 发信站: 北大未名站 (2002年12月18日12:37:42 星期三), 转信 我们是用 Bickel P.J., Docksum K.A.的 Mathematical statistics-Basic Ideas and Selected Topics. 发信人: hillpig (（山猪）), 信区: Mathematics 标 题: Re: Re： 参考书目:19.统计 发信站: 北大未名站 (2002年12月18日12:47:32 星期三), 转信 那本书看它的前言说是Berkley大学主修数学,统计,物理,科学,工程等专业的 研究生一学期用书.太厚了,我们一学期只学了一半.我想很多大学的数理统计 研究生学位课:高等统计里面的内容和那本书都差不多吧. 发信人: hillpig (（山猪）), 信区: Mathematics 标 题: Re: Re： 参考书目:19.统计 发信站: 北大未名站 (2002年12月18日13:03:43 星期三), 转信 作者Bickel可是统计界的大牛哦,他的老师是Neyman--数理统计奠基人. 他的一个来自中国的学生,范建青(毕业于复旦大学,现在香港中文大学统计系和北卡统计 系任教) 曾获统计界的诺贝尔奖--"总统奖",是个大牛.偶有幸听过其两次报告,呵呵. 他的主页是: http://www.stat.unc.edu/faculty/fan.html -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:03pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:20.博弈论，经济数学，最优化 发信站: 日月光华 (2002年12月18日03:56:28 星期三) Arrow K.S., Intriligator M. Handbook in mathematical economics, 1,2,3,4, North-Holland, 1981,1982 Aubin J.P., Frankowska H. Set valued analysis, Birkh\¨auser, 1990 Aumann, Hart handbook in game theory, North-Holland Aumann R.J., Shapley L.S. values of non atomic games, Princeton UP, 1974 Balasko Y. Foundation of the theory of general equilibruim, Academic Press, 1988 Clarke F. Optimization and non smooth analysis, Wiley, 1983 Ekeland Y. La th\'eorie des jeux et ses applications \`a l'\'economie math\'ematique, Pre sses Universitaires France, 1974 Ekeland Y., Temam R. Analyse convexe et probl\`emes variationnels, Dunod, Paris, 1974 Hildenbrand W. Core and equilibria of a large economy, Studies in Mathematical Economics n°5 , Princeton UP, 1974 Ichiishi T., Neyman A., Tauman Y.(eds.) Game theory and applications, Academic Press, 1990 Mas Colell The theory of general economic equilibrium: a differentiable approach, Cambrid ge UP, 1989 Owen Game theory, Saunders Companyu, 1968 Rochafellar Convex analysis, Princeton Mathematical Series n°28, Princeton UP, 1970 Vorob'ev Game theory, Springer-Verlag, 1980 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:04pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:21.数学史 发信站: 日月光华 (2002年12月19日16:05:45 星期四) Bottazini U. The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weie rstrass, Springer-Verlag, 1986 Bourbaki N. El\'ements d'Histoire des Math\'ematiques,Hermann, Paris, 1960 Boyer C. A History of Mathematics, Princeton UP, Princeton, 1985 Dahan-Dalmedico A., Peiffer J. Histoire des Math\'ematiques: Routes et D\'edales, Points-Sciences, Le Seuil, Paris, 1986 Dieudonn\'e J. Abr\'eg\'e d'Histoire des Math\{ematiques 1700-1900(2 vol.), Vol.1: alg\`ebre, analyse calssique, th\'eorie des nombres, Vol. 2: fonctions elliptiques, anal yse fonctionnelle, g\'eom\'etrie diff\'erentielle, topologie alg\'ebrique, pro babilit\'es, logique math\'ematique, Hermann, 1978 Fauvel J., Gray J. The History of Mathematics- A Reader, Open university, Mac Millan Press, NY, 1 988 Gray J. Ideas of Spaces, Oxford Science Publications, Oxford UP, Oxford, 2nd ed., 1989 Kline M. Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times, Oxford UP, New York, 1972 (注：中译本“古今数学思想”，四册，上海科技，新近重印过，感谢田廷彦师兄的努力/ /bow) Martzloff J.-C. Histoire des math\'ematiques chinoises, Masson, 1988 Rashed R. Entre Arithm\'etique et Alg\`ebre, recherches sur l'histoire des math\'ematiqu es arabes, Les Belles Lettres, 1984 Scholz E.(Ed.) Geschichte des Algebra, BI, Mannheim, 1990 Sinaceur H. Corps et Mod\`eles, Vrin, 1991 Weil A. Number Theory: An approach through History, from Hammurapi to Legendre, Birkh\ ¨auser, Boston, 1984 Yuschkevitch A.P. Les math\'ematiques arabes, Vrin, 1976 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:04pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 参考书目:end 发信站: 日月光华 (2002年12月19日16:08:39 星期四) 这份书目总算是敲完了，感谢大家的耐性//bow 应该说这份书目他们还是花了一些时间做的，多少有点价值。 因为连载的时间实在是有点长，所以我还是要提醒大家， 这份书目的性质，在引言里面都说明了，所以在发表评论的 时候或许先看看那一篇可以使得立论更加严谨中肯一点。 总的说来，看到BBS上(包括未名)的一些反馈信息，感觉很有意 思，对于我也算是一种收获，呵呵。 -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:05pm 发信人: ruanqing (一只学吃鱼的猫), 信区: Mathematics 标 题: 【合集】好书自然经典-代数篇(1)(from bbs.pku.edu.cn) 发信站: 日月光华 (2002年06月06日00:33:41 星期四), 站内信件 ☆──────────────────────────────────────☆ yjyao (poly) 于 Tue May 28 15:29:10 2002) 提到： 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(1) 发信站: 北大未名站 (2002年05月22日15:18:09 星期三) , 站内信件 好书自然经典-代数篇(1) 同调代数 [1]Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra Cambridge University Press 1994 再看过的同调代数书中, 我认为这本书作为教材是最好的一本. 这本书有两个比较突出的特点, 首先它是用范畴语言写的. 至于 范畴语言的意义和好处, daijianium 已经作了非常详细的阐述, 我就不再多说了; 其次这本书的行文相当紧凑, 没有太多的废话, 但是又不让人感觉非常突兀. 本书的前五章依次是 1. 链复形 2. 导出函子 3. Tor and Ext 4. 同调维书 5. 谱序列 基本是同调代数的基础内容, 其后的章节是同调代数在别的学科中 的应用, 依次为 6. 群的同调和上同调 7. 李代数的同调和上同调, 8. 单纯形方法 9. Hochschild and cyclic Homology 10. 导出范畴 本书要求读者对范畴, 尤其是Abel范畴有一定了解, 书后有一个附录, 是讲范畴语言的, 不过十分简略, 关于范畴, 可以参阅 [2]I. Bucur & A. Deleanu, Introduction to the theory of categories and functors, John Wiley & Sons, Lid., 1968. 在[2]中, 蛇行引理的证明是用小Abel范畴在模范畴的嵌入中完成的, 如果读者想看纯范畴语言的证明, 可以参阅 [3]李克正, 交换代数和同调代数, 出版社忘了. [3]的那个证明确实漂亮, 是拉回和推出应用的一个绝好例子. 李克正 的习惯是把显然的东西说成是抽象废话, 翻译成英文应该是 It is abstractly clear that..., 我本人不是特别喜欢用嵌入定理来证蛇行引理, 觉得代价太大, 应用一位老师的口头禅就是 c'est trop cher. ☆──────────────────────────────────────☆ 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:06pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 标 题: 好书自然经典-代数篇(2)(from bbs.pku.edu.c 发信站: 日月光华 (Tue May 28 15:30:30 2002) 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(2) 发信站: 北大未名站 (2002年05月22日15:34:54 星期三) , 站内信件 好书自然经典-代数篇(2) 同调代数 [1]周伯醺(应该是提土旁的说), 同调代数, 科学出版社, 1997. 如果你觉得Abel范畴的语言过于繁琐, 同时你又愿意承认嵌入定理, 而 又不愿意了解证明的细节, 那么[1]应该是一本中文的同调代数好书, [1]的叙述要比Weibel的柔和的多, 先讲一堆范畴和模, 然后才开始 讲同调, 全书的内容相当于Weibel的前五章. 这本书的一个缺点是极限 讲得不好, 不如Bucur and Deleanu精到, 而且拉回和推出的一个极其 重要的定理居然没有提及(看李克正对蛇行引理的证明即知, 或 [2]McLane, Categories for working mathematicians) [1]的好处 是讲了不少环论和模论的东东, 相当有用的. 这一点在 [3]H. Cartan & S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton University Press, 1956 中也有体现, 而且[3]中还讲了更多的东西, 包括同调代数方法的应用 之类, 不过[3]的年代比较久远, 那时的一些东西现在可能不常用了, 看的时候要注意一点. -- (Pointing towards a radio): I heard from that that that that that terrorist wanted to attack is a skyscraper. ※ 来源:·北大未名站 bbs.pku.edu.cn·[FROM: 129.104.247.2] -- -------------------------------- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:09pm 发信人: ruanqing (一只学吃鱼的猫), 信区: Mathematics 标 题: 【合集】好书自然经典-代数篇(2)(from bbs.pku.edu.cn) 发信站: 日月光华 (2002年06月06日00:42:58 星期四), 站内信件 ☆──────────────────────────────────────☆ yjyao (poly) 于 Tue May 28 15:32:08 2002) 提到： 发信人: journee (nat), 信区: Mathematics 标 题: Re: 好书自然经典-代数篇(2) 发信站: 北大未名站 (2002年05月22日17:01:01 星期三) , 站内信件 周伯熏的同调代数从很大程度上是抄 Rotman 'Notes on Homological Algebra' 和它的新 本 'An Introduction to Homological Algebra '.Rotman 的书写的重点突出条例清晰,值得 一 看,但它的框架仍是模范畴,值得一体的是新版中包含一些有趣的定理,比如什么时候一个右 正 合函子是张量函子.另外,他还含有一个不错的关于谱序列的介绍,但在我看来Weibel is t he most up-to-date. ☆──────────────────────────────────────☆ yjyao (poly) 于 Tue May 28 15:33:25 2002) 提到： 发信人: journee (nat), 信区: Mathematics 标 题: Re: 好书自然经典-代数篇(2) 发信站: 北大未名站 (2002年05月22日21:29:26 星期三) , 站内信件 同调代数速成可以看Peter Hilton的 Lectures in Homological Algebra Regional Conference Series in Mathematics Number 8 篇幅很小,但我没看过后几章不敢评论,前面还是不错的. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:09pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(3)(from bbs.pku.edu.cn) 发信站: 日月光华 (Tue May 28 15:35:12 2002) 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(3) 发信站: 北大未名站 (2002年05月23日20:56:55 星期四) , 站内信件 好书自然经典-代数篇(3) 层论 [1] Roger Godement, Topologie Algebrique et Theorie des Faisceaux, Hermann, 19 64 . 第一次接触层的概念是在J.-B.Bost的课上, 其时我在偷看 [2] Robin Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer-Verlag, 1977. 的108页. 结果没有看明白. 后来我去找J. Lannes, 说想要学代数. Lannes 带我到图书馆, 给我找了几本书, 一本是Cartan和Eilenberg的同调代数, 另外 一本就是[1]. [1]分为两章, 第一章讲代数拓扑, 其实是同调, 我没有学过, 关于 同调代数, 前面两篇已经着重提起过了. 至于后面一章, 我觉得是层论方面最精彩 不过的教科书了. 伍鸿熙在 [3] 伍鸿熙, 吕以辇, 陈志华, 紧黎曼曲面引论, 科学出版社, 1981. 的130页居然这样说: Godement的书很完备, 但这么长的书, 用来作参考就很好了, 不一定要拿来作课本念. 对于这句话我很是不以为然. 首先Godement的书并不长, 讲完层的上同调还不到100页, 其次Godement的书的结构十分紧凑. 概念的堆砌恰到好处. 举一个例子是ukim前几天 提的关于层论的问题, 我不知道ukim的参考书, 但是如果她用的是[1]的话, 我想她的问题 是不成为问题的. [3]中也有层论的介绍, 但是无论[2]或者[3], 我认为不如[1] 来的明晰. [1]是以集合预层开始的, 我们不要求附加的代数结构, Godement旋即说明了一个预层 生成一个espace étalé, 而一个预层是层当且仅当它是这个espace étalé的截面层. espace étalé相当于盖在底空间上的一个拓扑空间, 它和底空间在局部上是同胚的. 直观上说就是叠在底空间上一层一层的东东. 这样层的几何意义就昭然若揭了. 代数结构 的附加是自然的, 因为espace étalé是作正向极限而得来的. 由于指标集是filtrant的 , 一个具有代数结构的正向系按照集合来作的正向极限与在那个代数结构的范畴中的正向 极限是等同的. 所以如果原来的预层有某种代数结构, 生成的espace étalé也同样继承 了这样的代数结构, 这种过渡是很自然的, 然而在[2]或[3]中, 我们一开始就讨论 代数结构, 并且手动构造正向极限, 容易让初学者迷茫而不知所云. -- (Pointing towards a radio): I heard from that that that that that terrorist wanted to attack is a skyscraper. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:10pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(4)(from bbs.pku.edu.cn) 发信站: 日月光华 (Thu May 30 00:23:15 2002) 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(4) 发信站: 北大未名站 (2002年05月29日14:44:36 星期三) , 站内信件 本文是journee写的, 我只是代发 好书自然经典-代数篇(4) 这篇文章是关于Galois理论的 比较老的书有 [1] Van der Waerden, Bartel L.,Modern algebra, New York : Frederick Ungar, 195 3- 64 [2] Emil Artin, Galois theory,Notre Dame : University of Notre Dame Press, 197 1 下面这本书基本上遵循[1]的脉络 [3]熊全淹, 近世代数, 第四版, 武汉大学出版社 [1]很有名气, 98年项武义在复旦有"[1]是在代数书中写得最好"云云. 我个人 非常喜欢[1]的古典风格, 娓娓道来, 但我在学代数之初也曾几乎淹死在这本书 的第五章(theory of fields). 这本书平时翻翻还是不错的. [2]篇幅不长, 可以作为自学之用, 不太费力气. [3]的书不能说写的很好, 但他提到了很多可以作为扩展性阅读的结果, 并指出了 参考文献, 还是值得一翻(参见yjyao系列中的评论) 我翻过的其他比较近的书有 [4]Garling, D.J.H.,A course in galois theory, Cambridge University Press, 1986 [5]Nathan Jacobson, Basic algebra, W.H. Freeman, 1985-1989 [6]David Winter, The structure of fields, New York ; Heidelberg ; Berlin : Spr in ger, 1974 [7]P. Morandi, Field and Galois Theory, Springer-Verlag GTM #167, 1996. [4]的书我曾看过前一半, 感觉不怎么好, 也没什么不好, 但他的行文还是很 平易近人的, 作为Galois theory的教材还是很合适的. [5]的第一卷第四章和第二卷第八章包含了一个Galois理论的比较完整的表述. 这本书 简洁明了地讲述了有限Galois theory的基本定理, 一些应用和Galois群的计算, 引进了一 些 技术, 比如 mod p 简约. 习题配备的也不错. [7]的书没有仔细看过, 但印象中它的叙述很详尽, 有很多习题. 我主要想推荐[6], 相对于前面几本书, 这本更现代一点, 而且很简明. 如果 已经学过一些Galois理论, 比如[2], 看[6]会很不错. 但是[6]好像有一个错误, 在 第67页的Galois descend, 最后那个同态如果要是同构的话, G必须是有限群. 这样, 书中 用Galois descend来证明无穷Galois对应就有问题, 正确的证明参见 [8]Bourbaki, algebre commutative 1-4, Hermann, 1967 -- (Pointing towards a radio): I heard from that that that that that terrorist wanted to attack is a skyscraper. ※ 来源:·北大未名站 bbs.pku.edu.cn·[FROM: 129.104.247.2] 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:10pm 发信人: yjyao (poly), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(5)(from bbs.pku.edu.cn) 发信站: 日月光华 (Fri Jun 7 07:01:24 2002) 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典-代数篇(5) 发信站: 北大未名站 (2002年06月06日14:56:54 星期四) , 站内信件 好书自然经典-代数篇(5) [1] James E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory , Spring-Velag, 1972. (GTM 9) [1] 讨论了特征为0的代数封闭域(如复数域)上有限维半单李代数的结构 和表示. 要求读者有线性代数基础. 李代数的定义很自然, 而且也有 直观的例子, 如矩阵代数. 所以[1]的开头并不难读. 在第一章中作者证明 了Engel定理, 这个定理是初学者要认真对待的一个定理. 其实这个定理是 充分必要的, 只是充分性是显然的, 作者没有强调而已. 这个定理的证明手法 也是值得重视的, 感觉在高等代数课中, 矩阵的技巧强调太多, 而商空间和 空间分解的方法讲得太少, 而到了代数方面深入一些的课程以后(比如 泛函分析, 拓扑线性空间), 由于涉及无穷维线性空间, 我们不再能应用 矩阵的技巧, 直接在线性空间上操作就成为重要的手段. [1]的第二章是半单李代数, 作者开门见山地介绍Lie和Cartan定理, 这两个 定理的内容和证明都是值得注意的, 理由同上, 这里还可以看到Jordan标准型 的背景-Jordan-Chevalley分解, 而且内导子算子ad是保持这种分解的. 第二章还介绍了Killing型, 这是李代数理论的基本工具之一. 第七节中作者 详细介绍了sl(2,F), 这是分类定理的精神-我们把李代数分解成若干具有sl(2,F) 结构的子代数, 这些子代数的相互作用就是sl(2,F)的表示. 而第三章引入的 根系就是这些子代数的”下标”. 这一章的分类定理就是这种思想的应用, 不过 过程还是比较复杂的, 我的观点是看一看就可以, 要用的时候再翻书. 分类完成以后自然要证明每一类中有一个李代数, 并且同一类中的李代数是 同构的, 接下来的两章就是做这件事情. 第五章的技巧在李代数的深入学习中 很有用. 有专门的书讲包络代数的, 以后再介绍了. -- (Pointing towards a radio): I heard from that that that that that terrorist wanted to attack is a skyscraper. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:13pm 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: RE: 如何才能学好高等数学？ 发信站: 北大未名站 (2001年10月05日03:18:27 星期五) , 站内信件 以下是我对另一个帖子的回复，自认为对你的问题也是适合的： 关键当然不是多做题，而是在做题的基础上加深对概念和方法的理解、掌握。 这是高中就应该学会的学习方法，怎么到了大学里还不明白？ 实用的办法是： 先看书，然后自己尝试复述书上的说法、证明，卡壳的地方再多看、多体会； 然后才是做题。如果很容易对付的，完成即可； 费了些心思的，就要自己在做完以后再琢磨总结，和别人交流。 建议时常找个师兄交流，可望“一习话胜十年书”。 注意：做题也是必需的。许多人囫囵吞枣地自学过高等数学， 书上的习题好象也会做，实际上还是不懂。 高数必须通过习题来熟悉常见的数量关系和问题， 才能增加感性认识，书上的理论才不会是空对空。 dionysus 的回复似乎缺少针对性，因为 Polya 讲的虽然是普遍的思考方法， 其中的举例却偏于那种技巧性的难题，帮不了高数学习多少忙。 我以前讲过自己学数学的一点心得，本来是给另一个人的建议，转在这里： 数学分析和线性代数的基本思想其实很简单。你可以请学得好的同学给你讲一讲大概， 然后去补。在这里我不可能给你多少切实的帮助。不过有个建议，是我的经验之谈： 学一个概念（定理），要掌握两方面的看法，既要知道定义，又要形成相应的直观。 一方面，给定一个笼统的陈述，你要会用精确的数学语言刻画；另一方面，给定一串 术语，你要做到很快形成一个相应的“图形”。只有形式的和直观的两套语言你都 掌握了，你才是真懂了。（学epsilon-delta语言，学线性空间和矩阵，都要这样 颠来倒去，才会明白。） 至于“数学分析和线性代数的基本思想”，我也在给别人的邮件中列举过，同样转在这里： 拿我们本科阶段学过的东西来说，就有许多富于思想性的东西，是各门课程 的灵魂，超出于个别的技巧之上。(或者说“在经典的定理、理论中有示范， 同时在各种具体问题和技巧中体现”)。举例如下： 数学分析： “逼近”(转化)的思想方法----如“化圆为方”，线性近似(直到多元微积分 里面的 Jacobian 和一般的级数展开)，黎曼积分。 进行“局部”分析的 idea ---- 微积分应用于极值、单调性、不等式等等。 “控制”的数量关系----比如高阶无穷小(大)，优超级数，比较判别法。 以上这些东西，在偏工程性的分支学科(如数值分析)里还要反复用到。 至于极限、实数公理体系、初等的欧氏空间拓扑和测度、微分形式和 Stokes 定理， 更是既本质又困难的东西，决不是通常的技巧所能蕴涵的。它们的深远背景和推广， 体现在后继的实变、泛函、微分流形、复变等课程当中。 线性代数： 公理化思想----线性空间、线性相关、内积、度量等等的抽象定义，以及对 其它概念的某些抽象处理。 “化约”的思想----取基底，取标准形，及各种特殊情形的化归技巧 不变量和标准形理论----这不用多说，是这门课的核心和难点。 【 在 gonsbelly (gonsbelly) 的大作中提到: 】 : 各位师兄师姐，我是数学系新生。由于我是高考上的，所以接触高等代数，解析几何与数学 : 分析，觉得有一点点困难，主要是上课能听懂，下课做题却相对比较困难，简单一点的还可 : 以，难一些的就有些力不从心了，我想是不是由于学习方法不当或其他原因造成的，恳请师 : 兄师姐指教！特别是数学系的！ 顶部 gauss 发表于： 2003/09/26 09:14pm 发信人: huayi (考拉), 信区: Mathematics 标 题: Re: 数学是否需要直观理解？ 发信站: 北大未名站 (2002年03月10日05:44:25 星期天) , 站内信件 这个问题各种各样的人讨论过无数次了. 其实我认为, 每个人心中有直观, 有对 自然界各种问题的看法, 有对各种数学问题的看法. 数学的最低标准是逻辑正确, 此外对于数学工作者没有任何限制. 没有一种所谓的直观是对任何人成立的. 比如 伍鸿熙先生的黎曼几何, 我初学的时候看不懂, 学了更多的代数以后再看, 觉得写得很好. 必须承认伍先生的书写的很直观的, 但是他的直观并非我的直观, 所以初学的时候 觉得十分吃力, 后来自己的直观建立起来以后就清楚多了. 所以我认为, 不管做什么 事情, 建立自己的学习方式和自己的直观还是很重要的, 不过不要盲从别人的套路, 为了直观而直观. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:30am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 请问子空间的“夹角”怎么算？ 发信站: 北大未名站 (2003年01月18日03:59:31 星期六) , 站内信件 mingzi 当然是弄错了。应该考虑的是夹角(不大于90度)的最大值而非最小值。 容易确认，这样定义出来的“夹角”，相当于子空间之间的一种“距离”概念， 并且满足度量的三角不等式。 确切地说，对于线性子空间 U 和 V，分别取其中的单位向量 u 和 v， 考虑其内积的绝对值的最小值...(对应于夹角的最大值) 换种方式，可以先取 U 中向量 u，向 V 作投影，考虑投影后的向量 长度的缩小比率，求其最小值。 【 在 Atiyah (花衣风笛手) 的大作中提到: 】 : 8成，零的情况太多； : 我想应该先定义直线 与子空间 的夹角（可用投影来定义）； : 然后把子空间的夹角定义成 {第一个子空间中的所有一维子空间 与 另一子空间的夹 : 角} 的 : 上确界 …… 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:31am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月18日22:26:36 星期二) , 站内信件 令人喷饭... 我问问你： 第一，所谓个数相等是什么意思？大概是按照集合论中“两个集合的势(cardinality)相等” (也即存在一一对应)的意思吧。可是，你知不知道，除了在n-1 维超平面与(1维) 直线之间的情形，你所设想的那种对应肯定是“不连续”的(两者的模空间，也即对应的 Gr assmann 流形，其维数不等)；那你定义的这个所谓“夹角”，根本不是k维子空间这个 集合上的连续函数，又有什么意义？ 如果你还不明白，那我打个比方：你这样的做法，相当于在平面上的点与直线上的点之间建 立 一一对应，再用对应直线上的距离来诱导平面上的距离。众所周知，这种不同维数流形间的 一一对应肯定不是连续的。那你这种距离概念又有什么用处呢？ 第二，我在这个版上已经说过如何定义这种夹角。你读过吗？见3285。 【 在 mingzi (放假了~~) 的大作中提到: 】 : 考虑到n维空间中所有子空间的个数与所有直线的个数相等， : 我们现在取一个他们之间的一一对应，这样就可以定义两个子空间的的夹角为所对应两 : 直线的夹角。 : 赫赫 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:31am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月18日22:58:35 星期二) , 站内信件 如果单纯说“定义”的话，所谓两个“垂直”平面之间的夹角，的确可以定义成不是90度。 设想两个子空间的夹角已经有一个恰当的定义(如我在3285文中给出的，称为“定义一”)。 从它出发，可以变出其它的“夹角”定义。 一种办法是：考虑三维空间中某个特定的仿射变换，然后对于任两个子空间，考虑经过此变 换以后，按照定义一方式算出的夹角，把这个数定义为它们原来的夹角。称之为“定义二” 。 另一种办法是：任意取一个从区间[0,90]到自身的连续的一一对应，它是一个函数，我们 可以把定义中的夹角复合上这个函数，将结果定义为新的“夹角”。这是“定义三”。 各位学了这么长时间，对“定义”的本质，似乎还抱着过于原始和直观的想法。其实，定义 本身可以是相当任意的。那么对一个特定概念而言，什么才是好的“定义”？这就要用到 公理化的思想了。对于“夹角” 这个概念而言，我们可以抽象出它的以下特征(公理)： 公理一：它是所有(k维)子空间构成的集合上的一个二元对称(连续)函数。 公理二：它是正定的；当且仅当两子空间重合或一个包含另一个时，夹角为0。 公理三：它满足三角不等式。 公理四：它具有不变性---确切地说，我们通常要求它在正交变换下不变。 (对于仿射子空间，则是在欧氏运动群下不变。) 公理一二三，其实就是度量空间所必须具备的公理。公理四以及公理一中的连续性(按欧氏 空间在 Grassmann 流形上诱导的拓扑)，则是夹角这个概念的几何意义所要求的，而mingzi 的定义恰恰都不满足。由此观之，定义二满足公理一、公理二，一般不满足公理三、公理四 ； 定义三大概只满足公理一。 【 在 ClaudiaS (演绎新时代的阳光明媚) 的大作中提到: 】 : 晕啊!照你这么说,我们3维空间中两个垂直的平面之间的夹角 : 可以定义成90度,也可以定义成60度或者48度? : 你是数学系的吗? : 最好不是,要不然我对数学系同学的崇拜就要于今天破灭了. 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:33am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月21日02:47:25 星期五) , 站内信件 本来当然没这么复杂。不过你光是说个现成的定义，并无助于增进别人的理解。 我故意绕个圈子，就是假设我们处在这个问题原初的状况，设想自己怎么做。 在这种情境下，公理化的想法，要比粗浅的“类比法”有用得多，意义也更深远。 【 在 JacquelineIX (花仙子) 的大作中提到: 】 : 没那么复杂，夹角的定义就是夹角余弦等于射影测度跟原测度的比，对所有维， : 包括不同维的子空间都适用。这个事情Grassmann搞这套玩意儿的时候说不定就 : 已经知道了。 : ? 从它出发，可以变出其它的“夹角”定义。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:33am 发信人: JacquelineIX (花仙子), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月21日12:38:07 星期五), 转信 【 在 symplectic (愁容骑士) 的大作中提到: 】 : 本来当然没这么复杂。不过你光是说个现成的定义，并无助于增进别人的理解。 : 我故意绕个圈子，就是假设我们处在这个问题原初的状况，设想自己怎么做。 : 在这种情境下，公理化的想法，要比粗浅的“类比法”有用得多，意义也更深远。 这个定义显然是从类比法来的，不是考虑那么多的公理。两条直线夹角是出发点。 如果考虑三维空间中的两个平面，立体几何的二面角定义是取两面上与交线垂直的 两条射线的夹角。这个时候显然不能考虑用两条直线的最大/最小夹角定义，因为 在二面角的情形，两条直线可以取0到π的任何值。但是即使立体几何的二面角定义 也不能推广，比如在四维空间里两个2-平面可以只交于一点，根本没有交线，但这时 候显然是有夹角的概念的。所以追回来检查定义，考察三种最简单情形：平面上两线、 立体几何的二面角、立体几何直线与平面的交角，发现如果采用射影的定义，则三者 可以统一。进一步考虑，两条直线的射影在线性代数里是由内积确定的，而这里的内 积实际上是两个一阶反变张量对欧氏内积缩并，那么把欧氏内积拓展到多重向量的情 形，二面角自然是两个二重向量的缩并，结果是数；线面射影是一个向量和一个二重 向量对欧氏内积缩并，结果是一个向量，也就是有向直线投到平面上仍是有向直线。 不管射影出来的是什么，都可以给一个测度，对应的几何意义就是纯量、向量长度、 平行四边形面积、平行六面体体积，等等。最后一归纳，套用平面上两线投影的公式， 就得到n维欧氏空间中k重向量u和l重向量v的夹角： mes(u·v) cosφ = ----------------- mes u · mes v 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:33am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月21日20:19:37 星期五) , 站内信件 从原理上来说，我也早想到可以用多重向量的有关代数结果来处理这个问题。 我所说的，只是强调这种定义的背景。从纯代数的角度而言，这个定义当然很好。 可是为什么要这样定义？为什么会想到这样定义？离开“公理化”的思想方法，对 这类“打破砂锅问到底”的问题是无法回答的。 也许你要说：没必要知道“为什么”。可是在许多领域，对同一个概念往往有不同 (不论是表面不同还是实质不同)的定义，比如拓扑中的映射度，比如凸性，比如 很多对象的测度。怎么比较各种定义的优劣、异同，就成为一个关键问题。尤为 重要的是：学习这些定义背后的思想方法，是独立做研究工作的一个起点。不然你 什么东西都是拿来的，现成的，真要你自己去独立做一个未知的问题，你恐怕就 抓瞎了。 【 在 JacquelineIX (花仙子) 的大作中提到: 】 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:34am 发信人: JacquelineIX (花仙子), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月22日02:01:36 星期六), 转信 【 在 symplectic (愁容骑士) 的大作中提到: 】 : 从原理上来说，我也早想到可以用多重向量的有关代数结果来处理这个问题。 : 我所说的，只是强调这种定义的背景。从纯代数的角度而言，这个定义当然很好。 : 可是为什么要这样定义？为什么会想到这样定义？离开“公理化”的思想方法，对 : 这类“打破砂锅问到底”的问题是无法回答的。 就此问题而言，你我推敲夹角定义的来源都是假想的。你的方式是从一组应该满足 的公理出发看哪种推广合适，我的方式是看已有的1,2,3有什么共同点把n猜出来。 实际上公理法并不导致发现，只能检验发现的结果是否合理。真正是怎么发现出来 的并无逻辑可循。十九世纪Grassmann搞这个的时候，度量空间的公理并未深入人 心，离Klein发表Erlangen纲领也还尚有年头，当然更没有张量缩并的概念。据《古 今数学思想》，Grassmann创立外代数的时候用的就是纯代数的推导，更接近我这个 形式定义，赋予的几何解释也跟现代r重向量解释成平行2r面体相同，我倾向于认为 这个定义是从低维类比出来的。 实际上推敲怎么改进/推广定义/公理更多地是从经验中试出来的，最后写在今天教科 书上的公理和定义是大量实践证明可行才成为定论的，公理和定义本身倒并不是那么 重要。公理化的鼻祖Hilbert在《几何基础》里的公理也是改了又改才成为最后版本。 总之是发现导致公理，不是公理导致发现。Cartan在他黎曼几何的讲义里说到流形， 罗罗嗦嗦说了半天还是没说清楚，却并不影响此书至今仍是最好的黎曼几何教科书之 一，即是明证。 : 也许你要说：没必要知道“为什么”。可是在许多领域，对同一个概念往往有不同 : (不论是表面不同还是实质不同)的定义，比如拓扑中的映射度，比如凸性，比如 : 很多对象的测度。怎么比较各种定义的优劣、异同，就成为一个关键问题。尤为 : 重要的是：学习这些定义背后的思想方法，是独立做研究工作的一个起点。不然你 : 什么东西都是拿来的，现成的，真要你自己去独立做一个未知的问题，你恐怕就 : 抓瞎了。 : ........................... 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:34am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月22日05:11:42 星期六) , 站内信件 嘿嘿，我当然不是在考证历史。不过我想提醒你的一点是： “公理化”方法其实也是发现的方法，只不过前人还不懂得自觉运用罢了。 相对前人来说，我们只能做“事后诸葛亮”；但着眼于以后的研究，这种 智慧将证明是非常有用的。 拿我自己以前作过的一点研究为例。那是研究某个空间中的浸入曲面时，我们 发现可以定义一种“奇点”，而这种奇点是拓扑上一种所谓的“障碍”。为了 理解它和浸入的整体性质(拓扑不变量)，我们需要对这种奇点定义“奇点指标”。 定义的思路呢，一开始并不是清楚的，但我们至少知道自己要找的是什么： 第一，此“指标”必须是取整数值的；其二，它应该具有同伦不变性；其三，它 还应该具有几何上的“不变性”，即在相差一个外围空间的等度变换时，它不变。 可以说，这就是公理化思想在指引我们去寻求适当的定义。当然，具体去找的时 候，也有很大成份是依靠以往的经验和形式上的类比。比如说我们要运用活动标 架法，其中还要运用到一个提升的选取，那么如何从这些东西里面，找出真正的 “几何不变量”，就很有名堂，可以说是一种微妙的“工艺活”；再比如，我们 还看出可以利用复函数，从而联想到复变函数里面的环绕数(指标)的定义方式， 这就有“形式类比”的因素在里面。如果允许我打个比方的话，那么公理化思想 可以比作“望远镜”，指点我们如何在乱麻似的道路中找出最有希望的一条；同 时它又是最好的“催化剂”，可以从一点小小的成功和几个特例里，就看出更 深远的推广和更深刻的问题。(举例来说，你对一个概念给出了两种不同的定义 或刻划，那么人们自然要问它们是否一致。这种问题往往是非常重要的。史树中 老师的<凸性>一书中，就描述了所谓“局部凸性”与“整体凸性”两种定义，讨 论两者的关系。从这种眼光出发，经典的“凸集承托定理”就获得了非常不一般 的意义。)我想强调的，就是这种看问题、想问题、提问题的眼光。 话说回来，当初是因为有人设想了其它的定义，我才提到“公理化”，拿来作为 对经典定义的一种“合法性辩护”。你提那些异议，似乎是误会的结果。还有， 我觉得对学生而言，说些什么“书上的公理和定义是大量实践证明可行才成为定 论的”，实在是正确而无用的空话。有意义的是学会怎么培养这种数学上的感觉， 而“公理化”的思想方法恰恰可以有效地教人学习这种 taste。 另外，你最后说 Cartan 的书至今仍是最好的黎曼几何教科书之一，我比较怀疑。 也许是我孤陋寡闻吧。 【 在 JacquelineIX (花仙子) 的大作中提到: 】 : 就此问题而言，你我推敲夹角定义的来源都是假想的。你的方式是从一组应该满足 : 的公理出发看哪种推广合适，我的方式是看已有的1,2,3有什么共同点把n猜出来。 : 实际上公理法并不导致发现，只能检验发现的结果是否合理。真正是怎么发现出来 : 的并无逻辑可循。十九世纪Grassmann搞这个的时候，度量空间的公理并未深入人 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:34am 发信人: JacquelineIX (花仙子), 信区: Mathematics 标 题: Re: 两个子空间的夹角 发信站: 北大未名站 (2003年02月22日10:53:43 星期六), 转信 【 在 symplectic (愁容骑士) 的大作中提到: 】 : 嘿嘿，我当然不是在考证历史。不过我想提醒你的一点是： : “公理化”方法其实也是发现的方法，只不过前人还不懂得自觉运用罢了。 : 相对前人来说，我们只能做“事后诸葛亮”；但着眼于以后的研究，这种 : 智慧将证明是非常有用的。 我无意否认公理化在现代对于数学发现的意义，实际上A.D.Aleksandrov在把角的 概念推广到一般的内蕴度量空间（最开始是二维）时，证明的第一个定理就是 三邻角的三角不等式。但我想强调的是问题的另一方面，就是在种种不同的等价 定义之中究竟选取哪一个，并不是公理说了算，而是实用说了算。 回到子空间夹角的问题上来，我上面给的定义，最大的好处就在于计算方便。举 个例子，我们来算R^5里面的一个3维子空间和一个2维子空间的夹角，二者分别用 3-向量u和2-向量v来表示，因为是子空间，多重向量都是单的，u,v分别为三个向 量和两个向量所张成，记为u=u1∧u2∧u3，v=v1∧v2，进一步写 u1=(u11,u12,u13,u14,u15)，等等。这样就可以写成矩阵 ┌ u11 u12 u13 u14 u15 ┐ u = │ u21 u22 u23 u24 u25 │ └ u31 u32 u33 u34 u35 ┘ 如果把u展开到坐标面上，记为 u = U123 e1∧e2∧e3 + U124 e1∧e2∧e4 + …… 则显然U123就是上面那个3x5矩阵头三列的子式，后面依此类推。那么 ______________________ mes u = √U123^2 + U124^2 + …… 注意这个就是高维单形的毕达哥拉斯定理，几何意义是清晰的。 对v我们也可以同样计算。至于内积u·v，只要把对应的分量对一下 加起来，比如U123和V12、V23、V13分别相乘，记入e3、e1和e2 这些对应的分量，最后统统求和，就可以得到内积结果的向量。 顺便可以注意到这里内积和毕达哥拉斯定理之间的关系和平面几何 是一致的。这些事情搞清楚了以后就可以统统扔给计算机去做了。 你的定义也就是在单位球上选取一个投影比取极值的向量，虽然跟 我的定义等价，恰恰不具备这种计算上的方便，当然从理论上说有 另外的好处，也就是易于推广到无穷维。 类似的例子有很多，比如行列式有一个适用于理论的与基底无关的 定义，可是实际上算的时候谁都得用最初的直接展开的定义，这不 仅因为计算方便，而且因为它反映了行列式就是平行2r面体的体积 这一几何观念。再比如谁都知道Gauss曲率的内蕴表达式，可是算的 时候大部分情况下还是用II/I去算，这不仅因为计算方便，而且因 为它反映了Gauss定义曲率的出发点，就是曲面上一点和Gauss球对 应点的无穷小面积比由Gauss映射在这点的Jacobi行列式反映出来。 根据我对数学史的有限了解，在多数情况下，最初给出的定义都是 最值得思考的定义，因为创造它的人最清楚这个定义里应该包含怎 样的观念。所以即使这一定义在后来被大大拓展，原先的思想仍然 必须搞清楚，这就是考证数学史的意义。从这个意义上说，“教科 书上的公理和定义是大量实践证明可行才成为定论的”并非空谈。 : 另外，你最后说 Cartan 的书至今仍是最好的黎曼几何教科书之一，我比较怀疑。 : 也许是我孤陋寡闻吧。 最后说一句，我上面那个定义就是从Cartan的书上抄来的，在读此书 之前，我看过七八本几何书，仍然不清楚什么叫外代数，也仍然不清 楚什么叫连络。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:36am 发信人: symplectic (思君不见君), 信区: Mathematics 标 题: Re: 请教黎曼几何大侠（关于本科毕业论文） 发信站: 北大未名站 (2003年04月04日04:30:41 星期五) , 站内信件 呵呵，说说我对高斯的绝妙定理的理解吧。 我当初读的<微分几何>教材是苏步青等人写的。我自学了一遍下来，觉得 “Weingarten 算子为自伴算子”是一个枢纽(这在一般情形称为 shape operator，自伴性其实就是第二基本形式为对称张量的体现)，由此立即 可以定义两个主曲率，并用其对称函数来定义总曲率和平均曲率。显然， 它们是第二基本形式的全部代数不变量，也是此浸入的基本几何不变量， 其重要性首先在这里。这种看法，比较接近高斯以前的人的认识，特别是 欧拉等。 高斯的发现，从技术上来说，不过就是导出可积性条件，其中的 Gauss 方程 加上外围空间的平坦性，立即导出总曲率与诱导度量的关系。单就其本身 而言，的确谈不上绝妙，初学者更容易将其理解为是一个“偶然的事实”。 这背后的深奥之处，即使我看了原教材上面的评论，后来又加上 Spivak 的书，自以为明白了，其实还是似懂非懂；或者说只是在形式上懂了，而 实质性的概念进步在哪里，我依然没抓住。而这正是通往一般的 Riemann 几何的一个入口。 从别人的评论中，我自然听多了“内蕴”(intrinsic)这个词。但怎么才是 真正从内蕴观点看问题，其基本困难在哪里，我是慢慢才理解的。从 Riemann 几何的角度来看，等于问：一个流形上给定的几何结构只有度量(第一基本形式)， 那么它的不变量是什么？转移到物理的眼光，容易明白上面有一种最直观的 几何对象：测地线(短程线)。它显然是由流形上的度量唯一决定的，而且 不难找到微分方程的表达方法，其系数中会出现度规张量(度规是物理学上 对 metric 的习惯叫法)。可是再想找更多的东西，就很难了。 回到历史上来看，这时恰好有一个经典的问题，提供了解答这个问题的 重要线索----这就是著名的“第五公设”问题。人们企图用反证法，说明 平行公理相对于其它公理的独立性，结果却发展出了一套独立的几何，在 那里，过直线外一点可以作无数条平行线，三角形内角和小于180度，三角 形有不同形式的正弦定律和余弦定律...研究一旦深入到三角学这样定量的 层面，就会蕴育观念上的突破。首先，这里谈到的“直线”已经是一般意义 上的测地线；这种测地线构成的三角形，内角和居然不是180度，很容易 让人们联想到曲面三角形，再进一步联想到空间发生了某种“弯曲”... 高斯那个时代，力学观念已经相当发达了吧，很可能已经有了理论力学中 的一些想法，比如某力学体系的状态空间(相空间)，这种抽象的空间显然 不必是平直的。高斯自己又主持过大地测量和天文观测，熟悉球面三角 之类东西，他显然应该很清楚，这种“弯曲”空间可以在某个外在空间中 “实现”----就非欧几何而言，这对应于后人发现的双曲平面在三维欧氏 空间中的实现，即伪球面。但是，进一步深入思考后，我们可以明白：既 然这种“弯曲”被测地三角形所刻划，而后者完全被给定的度量所决定， 因此，“弯曲”应该是事先就隐藏在“度量”里面了的；而在外围空间里 的“实现”(现代所说的“等距浸入”)，反而是要被前者决定的一件事情， 而不是相反！ 有了这个观念，我们就会意识到：一定存在一个内蕴的关于某种“曲率” 的定义。如何去找出它来呢？高斯的“绝妙定理”，就反过来提供了线索， 指明从一个度量张量出发，我们应该作怎样的演算，才能得到一个内蕴的 (意味着只依赖度量张量)“曲率”的表达。Riemann 揭示了 Gauss 工作 的意义，说明“几何”的观念需要在两个方面发生革命性的转变。其一， 是从欧氏空间的框框里跳出来，认识到“空间”及其几何性质，不是一种 先验的存在，而有丰富的可能；这里的各种可能性被 Riemann 度量所描 述，而它们之间本质上的不同，则由常曲率空间的三个经典例子加以揭示 ----这些认识，可以说是承接非欧几何的发展而来。其二，是从前人有关 曲面论的框框里跳出来，强调内蕴观点，要求对度量张量自身决定的几何 不变量有更深入的理解。这个任务，经过 Ricci 和 Levi-civita 等人 的工作(张量分析)，才大体告一段落，其收获就是曲率张量概念，以及 顺带的副产品----“联络”(connection)。 至于这个联络概念怎么介绍才自然而易懂，我就说不好了。自己的理解也 不怎么样呢。有机会倒一定要看看你们推荐的 Cartan 的书了。不知道有 没有英文版的？ 【 在 JacquelineIX (花仙子) 的大作中提到: 】 : 太惨了，我全都是自己啃的，绕了无数弯子 : 现在回过头来看，大部分作者都没在连络定义上下功夫，就连伍鸿熙写了那么多，其实 : 也是绕了个逻辑循环，先拿方程的解定义平行移动，再说有了平行移动一定能转回那个 : 方程，说来说去还是没说清楚平行移动到底是什么。回去看Cartan的书，上来就告诉你 : 连络就是在弯曲坐标系（不一定是弯曲空间）里求力-加速度，中间还给了三个几何解 : 释（其中之一在Arnold经典力学的附录里出现，可见老毛子都知道），这么讲的话，怎 : 么能不懂。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:36am 发信人: symplectic (思君不见君), 信区: Mathematics 标 题: Re: 请教黎曼几何大侠（关于本科毕业论文） 发信站: 北大未名站 (2003年04月04日05:14:58 星期五) , 站内信件 高斯对曲率的认识，还有另一个方面，我也补充说一说。 三维欧氏空间中的曲面，它在任一点处的单位法向量，对应于单位球上一点， 这就给出从曲面到球面的一个映射，称为 Gauss 映照。它是高斯对曲面论的 一大贡献。也许他不是这个映射的第一个发现者，但无疑是他最先充分利用了 这个自然的几何对象来研究曲面的性质。在这个映射下，曲面上的小区域映到 球面上的小区域，在极限情形(趋于曲面上一点)，它们的面积比应该有个极限 值。从直观上来说，它也反映了曲面在一点的弯曲程度，其意义类似于我们 定义曲线的曲率为切线方向的瞬时变化率。根据我看过的介绍，高斯最早就是 用这个方法来定义一点处的 Gauss 曲率的。 这个定义，显然也不是内蕴的。不过有个看法，容易让我们理解它与曲面的 内蕴性质的关联。取曲面上靠近此点的一个测地三角形，当它无限趋近于此点 时，它的 Gauss 映照的像，也可以近似地看作球面上一个无穷小的测地三角形。 两者的切平面平行，因此可以当作相似形，其角度也相等。(这里作的两次近似， 略去的显然都是高阶无穷小量，所以不会有问题。) 而高斯在对非欧几何(双曲几何)的研究中，很可能已经知道，在那里，三角形 的角亏与面积之比为常数(“角亏”是内角和少于180度的部分，后头“角余” 的概念类似)。而他必然也知道，对球面三角形有“角余与面积之比为常数”。 在后一情形，这个比值恰好就是球面的曲率(半径的倒数)。因此，完全有理由 把前者称为双曲空间的“曲率”----如果以角余为正，角亏为负，再以球曲率 为正，则双曲空间的曲率为负常数。如果是一般情形呢？那么就取这个比值的 极限为一点处的曲率。这可以当作是二维 Riemann 流形的曲率的一个几何化 的定义，它显然也是内蕴的；特别地，它还可以推广到高维 Riemann 流形的 截面曲率的定义。 现在，我们有了两个 Gauss 曲率的新定义。它们与前头的“总曲率”概念的 一致性，在通常的微分几何书里常常作为练习。这里我只打算指出：在高斯映照 下，无穷小测地三角形的球面像面积，正好等于其球面像的角亏，也等于它自己 的角亏，于是这两个定义的等价性，就得到了证实。如果我猜想的不错，那么 高斯有了这样的证据，当然更加会确信“曲率”的内蕴性；随之也就有了绝妙的 理由，将他最后的发现称为“绝妙的定理”。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:41am 我最熟的老师，自然是我以前的导师王长平了。你应该跟他也有一些 交往吧。讨论班是不是也跟他和他的学生一起上？他的研究方向是 子流形几何，特别是共形微分几何中的子流形理论(他博士阶段和 刚回国时则是做仿射微分几何)。他留学德国，受到的是德国这边 的几何学传统的影响，重视变换群下的不变量这个观点，对许多古典 的几何比较熟悉，而且有不少自己的观点。他以前还跟陈省身先生 学过一段时间，对活动标架法运用得最多---这是他的基本工具。 王老师最好的一点是对学生很好，平易近人，在生活(如补助)和学习 方面比较关心。跟他还可以学到很多有关几何的思想方法 ....既能放手让你自己做，关键时候又往往能指点迷津。 他对我和其他学生的鼓励也特别多，对我的独立见解也非常能接受。 这些都特别有利于学生的成长。 王老师目前的问题是事务性工作太多，占用了许多精力，以致于他的 许多好idea 都顾不上动手去做。目前他的学生也很多，所以他也常常 为此头疼----唯一的办法是跟学生一起做一些小问题，他出主意，学生 去算，每周或两周讨论一次。这样其实也挺好的。如果你自己的主观 能动性比较足，那么会比较容易进入研究状态。 其他老师我就谈不上有多了解了。原来拓扑方向的几个老师我还有所 了解。 我硕士期间学了同调论(姜先生讲的)，交换代数(蓝以中)， 黎曼曲面(伍胜健)，微分拓扑(张筑生)，李群(刘旭峰)， 黎曼几何(陈维桓，莫小欢)，低维流形的几何与拓扑(王诗宬)， 纤维丛和同调群(段海豹)，另外还听过一点李忠(黎曼面)， 刘张炬(力学中的数学方法)，文兰(动力系统)的课。 我觉得比较有收获的课是同调论、微分拓扑、李群、黎曼几何、 纤维丛与同调群。黎曼面和低维流形的课其实很有价值，可惜 因为老师和其它缘故，我都没有花相应的功夫。交换代数 是学代数几何的预备知识；我后来并没学代数几何，所以这个 功夫是白费了，只剩了几个概念还有印象。 书倒是没看什么。王长平老师就不主张多看书。他的建议是 一边做研究，一边学习相关的知识和材料。当然他也不主张 那种完全“实用主义”的态度，只是在这个选择问题上有他 独到的看法。比方说，他曾建议我的师兄去读有关和乐群的 东西，如 Besse 的 Einstein Manifolds，这个建议就有 深意在后面：他认为这个方向有前途，至少可以学到很多有 用的知识，而且接近主流的一些研究方向；这本书又是公认 的经典；再有，这些方面也不难找到有意思的问题来做；另 外，这个方向王老师自己也有兴趣学习，与他以前的研究 背景相距也不是太远...可惜这个师兄有点懒，结果让王老师 的这个设想成了空想。 论文难不难做嘛...嘿嘿，是个不太好说的问题。我自己花了 蛮长的时间入门，主要是学习如何做复射影空间中的子流形 理论。这个方面，王老师先有了基本的想法，然后我们一起 把它写好----同时我也在这个过程中学了不少有用的知识和 方法。大约一年后，00年春天吧，王老师建议了一个具体的 题目，有关 CP^2 中的曲面的某种奇点。我们一起研究如何 定义它的奇点指标，如何构造一些微分形式，再利用积分和 Stokes 定理得到一些整体的结论...这个研究虽然发现了有 意思的东西，而且差点儿就要写出论文投稿了，却发现不是 新的...其实我们还讨论过很多其它的东西。可惜最终也 没有写出一篇论文。 不过，后来王老师的几个学生倒比较容易就做了一些东西。 他们应该觉得也不算难吧。我想这里的原因呢，一是王老师 原来没指导过学生，所以有些缺乏经验，走了些弯路---- 特别是在选题方面，不巧是个已经被别人理解了的问题，而 文献中却不容易检索到。二来，这也因为他想转一个新的 研究方向，结果新的领域他并不熟悉，就吃了些亏。即使 这样，我认为我跟他还是学到了很多东西，特别是找到了 做研究的感觉，有了自己一些独立的 idea。相比之下，我 师弟他们做的是一些王老师本人就熟悉的题目，因此绕的弯子 不大----但这样他们自己受到的锻炼也少。对我来说，硕博 连读，还吃得起时间上的一点亏；对他们来说，只是读个硕士， 那么做点短平快的题目，也是合理的选择。 具体开始做研究的时间选择，王老师和我谈过。他总结经验， 认为：硕士第一年(特别是第一学期)，应该让学生好好上一些 课，特别是跟几何、拓扑有关的。从第二学期后期和第三学期 开始，要让学生跟着上讨论班，了解正在研究的一些东西，读 一点 paper。第四个学期后期，就可以着手做一个具体的题目了 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:41am 荐的书：...) 另外，我有个感觉，就是你现在似乎更适合学一些具体点的数学。 你说了你还是大三。以你现在所了解的数学图景，去学黎曼几何， 比较大的可能是学个半吊子，只模糊听说了许多概念，但很难有 比较启发心智的收获。 刚才我查了一下北大数学学院的本科生课程目录，发现“黎曼几何” 算作本科生选修课。可替代的选择是“整体微分几何”和“黎曼面” ----我个人认为它们更适合你目前的程度。你完全可以把“黎曼几何” 放到研究生阶段去学。如果你真打算学“黎曼几何”，我建议你先看 一些主题比较“初等”的东西。比方说“双曲几何”(就是我说过的 常负曲率空间的几何，或者说平行公设不成立的空间的几何，图书馆 有一大堆这个主题的英文书)；李忠老师写的<双曲几何>(“走向数学” 丛书)和项武义先生的<古典几何学>可以当作相关的参考书，写得都 比较有启发性。 我的确切意思是：本科阶段，适合多学习一些数学上的“例子”。 对一些比较具体的主题有了解以后，一是容易激发学习兴趣，二是 将来再学一般理论就容易接受。 【 在 troubadour (弹指相思) 的来信中提到: 】 : 你好 : 我是北大数学学院数学系大三的 : 我准备明年修黎曼几何，想先自己看看 : 你能不能推荐一些书啊？ : 王长平老师的微分几何和微分流形的课上讲过一些联络的概念， : 不过我还是感觉云里雾里。你能不能帮助推荐一些讲联络讲得 : 比较清楚直观的书？不一定是教材。 : 当然，最好还有其它的相关内容 : 非常感谢！ 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:41am 我刚才给 troubadour 回了封信，里面说的一些话，也可能对你有用， 所以我转述于下： “另外，我有个感觉，就是你现在似乎更适合学一些具体点的数学。 你说了你还是大三。以你现在所了解的数学图景，去学黎曼几何， 比较大的可能是学个半吊子，只模糊听说了许多概念，但很难有 比较启发心智的收获...我的确切意思是：本科阶段，适合多学习 一些数学上的‘例子’。对一些比较具体的主题有了解以后， 一是容易激发学习兴趣，二是将来再学一般理论就容易接受。” 我假设你目前对数学的了解以及你的能力都只在一般或比较优秀的水平。 在这种情况下，轻率地去进入一个热门的方向，啃一些比较大的问题， 似乎不是一个好的选择。有一些基本的课程和知识，你应该系统地去学 一学，比如黎曼几何和复几何。特别地，你应该通过对很多具体例子 (比如复射影空间及其它一些对称空间，李群，某些复曲线和复曲面， 某些典型的拓扑空间的拓扑结构)的了解，先培养一些具体和直观的认识， 在这个基础上才容易掌握更高深的理论工具。有了前面这些东西作铺垫， 我相信你那种“学了却用不上”的感觉肯定会大大减少。 你说的“学习研究同时进行”的主意，我以前的导师王长平也是这么强调的。 它是一个相当合理的建议，对中国学生也特别有针对性。具体到你的情况， 我有个折中的建议，就是你可以花功夫去检索和浏览文献，看看关于 Hodge 猜想有些什么重要工作和好的 idea，看看别人都用了什么理论和工具---- 你肯定会遇到大量你不懂的知识，包括别人文章中随便一个小论断“熟知...” “显然有...”都可能让你百思不得其解----这样就会激发你自己的学习兴趣， 而且更有目的性。两方面结合起来，大概会有不错的效果。 另外，你要查文献的话，最好多利用两个期刊(数据库)： Math Review 与 Math Zentralblatt。 我文集中数学部分的“文献指南”有介绍。 【 在 fraction (百味人生) 的来信中提到: 】 : 我现在大四比业 : 学了不少研究生的课程，觉得很多好像搞研究用不上 : 当然我承认很多东西我还远未弄的很明白 : : 我想找一个比较热门的方向，比如HODGE猜想去搞一下 : 具体的办法是：先找到这两年关于HODGE猜想的文章去读，在参考献文里又可以找到 : 参考献文，这样一直下去，就能把这个邻域内的要点搞清楚 : 当然在着中间会有很多问提向相关专业的同学和老师请教，顺便 : 比单纯学习掌握的还好 : 学习研究同时进行 : : 不知你的意见如何？ 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:47am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（一） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:22:13 星期五) , 站内信件 第一次听到对伍鸿熙先生的好评，是我还在读中学的时候。我一时兴起，买了一套湖南教育 出版社的“走向数学”丛书。其中一本，是史树中先生写的《凸性》，娓娓道来，把个“凸 性”观念的来龙去脉讲得头头是道，并且还不失时机地“吹”了一些布尔巴基的结构主义思 想，让我很是佩服。我想，能这么写书的人，即便不是大家，也一定是真正学通了的人。随 手翻到书的后记，才知道有个伍鸿熙写的书更精彩。试看作者的一段评价： “……又如，最近在国内出版的美国加州大学教授伍鸿熙先生与人合作的两本几何书，连作 者这个外行也爱不释手。他们的共同特征之一是抓住重点，徐徐道来，令人不知不觉地就进 入了数学美境。形式上也有定义、定理等等，但已不再是从天而降的飞来之物。这本《凸 性》很想模仿他们的写法……” 就这样，记住了伍鸿熙先生的大名。而这仅仅出于对好书的向往。 为了对照，说说好书之难得，我想再引用史树中的一段话： “作者的管见在于对一些数学书的‘标准写法’越来越不满意。在这种‘标准的’数学书 中，语言常常是“电报式”的，并且绝不带任何感情色彩。一上来是天上掉下来的‘定 义’，接着是尽可能一般的‘命题’、‘引理’、‘定理’，然后是一系列面面俱到的 ‘例’和‘注’。这或许也是Bourbaki造的孽。没有他们那几十本《数学原理》，可能没有 那么多的人这样来写数学书。但是一名好的数学教师或讲演者（一些著名的Bourbaki分子自 己就是如此），常常只把这样的数学书当作提纲或备忘录，在课堂上则另用生动的语言来描 述其中的来龙去脉。遗憾的是有不少人的讲演并非如此。他们往往把这样的数学书往黑板上 一抄，再用干巴巴的话稍作解释，就算了事。听讲者昏昏欲睡，索然无味，渐而渐之甚至还 使一些学生对数学深恶痛绝。 “还有一种数学书的写法目前在一些普及读物中流行。那就是把数学简单地归结为解难题， 而数学书也就是提供解答难题的各种巧诀妙法，但又点到为止，不求甚解。读者只能对前辈 数学家独具慧眼惊叹万分，很难领会各数学领域的全貌和发展过程。 “对于一个善于思考的数学初学者来说，他会努力透过书上干枯的骨架去体会数学的内在 美。偶有心得，欣喜异常；若有幸听名家开导，更会感到豁然开朗。但更多的人则因那些不 知所云的名词对数学敬而原之，或因那些绞人脑汁的难题对数学望而生畏。不单是有不少中 学生发誓毕业后不再碰数学，甚至连许多大学数学系的学生都常抱怨自己投错了胎。 “诚然，上述两类‘标准的’数学书是必不可少的。但是能否再写一些不太吓唬人的数学书 呢？……” 不知各位是否也有同感？ -- 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:48am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（二） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:23:09 星期五) , 站内信件 我这里首先谈到的是伍鸿熙所作的《黎曼几何初步》一书。这不但是因为他的著作中以这本 书我读得最熟，还因为书的前言中再明白不过地说明了作者对数学写作的看法： “……你们会了解书内的定理都既是人为的，又同时是合理的。也许你们认为一本书要写得 高深莫测，才能显出作者的学问渊博。但是我却希望你们会觉得书中的一切，不但是理所当 然的，而且是容易得只要肯花一点功夫就可以自己做出来的。要做到这一点，除了一般的 ‘定义—定理—证明’的基本形式以外，我设法多加一些按语来说清楚每个主要定义和主要 定理的来龙去脉和直观意义。另一方面我也要指出，书内的概念和结果所以被认为是基本性 的，并不是因为某某权威说过是如此如此，而是因为经过时间的检验后，发现确切是如此 的。就是说，从经验的总结，我们现在知道这些概念和定理是有用和必需的。所以一个初学 者应该致力于探求为什么所学的是有用的和必需的，否则不能对所学有一个全面的了解。这 种治学态度，其实不单是适用于数学上，而是适用于一切学问的领域上的，包括社会科学在 内。” 作者不但有这样的抱负，而且以我之见，他做得也实在不错。比方说，黎曼几何最中心的概 念是“曲率”，但理解曲率前所要克服的第一个概念上的难点是“联络”。曲率有其直观， 联络则很抽象；对曲率的理解可以按照历史发现的顺序，联络的引入却在历史的后端、体系 的入口。《初步》一书中为了讲清这个概念，真是煞费苦心。作者先从欧氏空间中的方向导 数讲起，提出问题：如何将“对向量场的微分”搬到一般的流形上呢？由于局部的方向导数 依赖于坐标系的选取，没有自然的办法拼成流形上整体定义的东西。由此，作者指出，要做 微分，不能生搬硬套，而有赖于流形内蕴的结构，从而引出了联络的公理化定义。对联络的 一般性质加以讨论后，引入相对于给定的黎曼度量的Levi-civita联络，在这里，我们一方 面开始看到这个概念的精妙之处，另一方面也逐步与原有的欧氏空间中曲面论的直观建立联 系。最后，给出Levi-civita联络的几何解释：平行移动。由于加了大量的注记和具体计 算，联络的概念变得有血有肉，具体可感。 相比之下，陈省身先生的那本《微分几何讲义》就不大适合初学者。讲联络时，一上来就抽 象地定义为作用于丛截影上的算子，我刚读时怎么也不懂。当然，陈省身还是大家，只能说 他的讲法高屋建瓴，太精炼。用华罗庚的话来讲，是把书读“厚”了之后又变“薄”之作。 如果把微分几何学过一遍之后再读此书，也许是个很好的总结。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:48am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（三） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:24:23 星期五) , 站内信件 一个数学初学者读书时最大的困惑，往往在于不懂为什么要引入某个新概念。就象前面所 说，“象是天上掉下来的”。当然，不懂的话也还是可以按图索骥，把性质、证明验证无 误，待以后用多了就可以慢慢体会出其意义——大部分时候我们就是这样学的。遗憾的是， 这个过程往往太漫长；而且更多的时候，没有直观的图象和例子，使得学习的过程味同嚼 蜡，了无生趣。 好的教师应该能及时揭示出概念与定理背后的idea。相比较于一些具体知识的获得，这些思 想对学生的潜移默化的作用更难以估量。有谁记得线性代数中有关Jordan标准型和规范变换 性质的推导？但好学生肯定对找“好”基底、找不变子空间、找标准型这样的基本思想记忆 犹新。有谁背得出书上的基本积分公式，或者记得无穷级数的那些精细判别法？但你只要懂 得微分形式的不变性，掌握了“比较”与“控制（增长速度）”的概念，就可以应付绝大部 分这类问题。除开以上理由，更重要的是学习做研究的思路——这点对研究生来说尤其关 键。 在这方面，伍鸿熙的书是一个数学学徒难得的好教材。为什么要先引入空间形式，又讨论 Cartan-Hadamard定理，Bonnet-Myers定理，还有比较定理？首先是因为空间形式具有常 曲率，又具有最大的对称群——这两点都符合他事先讨论“什么样的黎曼流形有意思”这个 问题时定下的标准。其次是它们提供了第一批具体的例子（实际上是最好的例子），从有关 的计算中我们第一次发现了曲率直接控制测地线的现象，并建立了Jacobi方程作为出发点。 随后，引入Jacobi场，并通过对它的精细研究，得到整体的、定性的结论（C-H定理，B-M 定理）。总结以上研究，使得我们得以看清一个基本模式（idea），即“从一个模型空间出 发，将所论流形与模型空间作比较，力求得到结论”；进一步，即得到Rauch等人的比较定 理。——这一长段概述，实际上是作者在前半部分的好几章中循序渐进，用若干个注记点出 来的。它们可称是画龙点睛之笔，有了之后，原来所做的一些零散计算和已知事实忽然神采 飞扬，让人恍然大悟。书中一直在做的是建立有关测地线的几何，并用测地线来控制流形的 大范围性质。这其实很自然，因为测地线是黎曼流形上最“好”的一维子流形嘛，通过它们 来研究外边的大流形似乎很明显——就如同欧氏几何中的直线一样。让人想不到的是，这么 一个simple and naïve的主意，竟能引出这么深刻的结果。作为逻辑的自然延伸，紧接 着 讨论了Morse理论，则它在大范围分析中的重要地位也就好理解了。 附带说一下，这里还有一个好例子，说明伍鸿熙的点拨是如何深入浅出。为什么要定义出一 个Morse指标形式呢？伍鸿熙指出，这类似于微积分中，对f的二阶微分（Hessian）的研究 要比更原始的概念“f沿曲线的二阶导数”来得更重要；对于刚刚计算过的二次变分L”(0) 来说，我们也要试图去找出其对应的“Hessian双线性形式”，这便得到Morse指标形式。 经过初步讨论后，伍鸿熙又加上一句评论：“对指标形式进行工作要比直接对曲线的变分做 起来方便的原因是，前者是一个线性物，而后者却不是”（这样即可以对线性对象——向量 场——进行工作，从而把问题简化到了代数的范畴中）。这就把话说得再明白没有了。 不过，尽管伍鸿熙先生这本书谈及的东西很多，很渊博，但受到他个人兴趣的限制，似乎偏 于在黎曼流形的框架里做分析（几何分析？），真正处理的内容并不广。举例来说，此书中 没有介绍多少活动标架法或Cartan的外微分法，也没有多少群论观点（不变观点，或指 Erlangen Program）和纤维丛的内容。而北大几何方向的几位老师都主要是做子流形几何 的，必须向学生介绍这些内容。这样，这本《黎曼几何初步》就仅仅是我们的参考书之一， 并不太受重视。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:48am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（四） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:25:19 星期五) , 站内信件 伍鸿熙对理论源流的疏导之功，还表现在谈论未解决的问题上。在这方面，他的谈论方式可 以说是从容不迫，娓娓道来。提起已获得的成果，旁征博引，而不觉其炫耀；讲到面临的困 难，也从不夸大其词。总而言之，他总是能恰到好处地把数学洞察力传达给你，让你欢欣， 惊奇，困惑，沉思，心头受到莫名的冲击。 象这样的书，读它的方式不必是逐字逐句，当成教科书一样；不妨当作“枕边书”，不时拿 起来翻翻，就能从他的一些说法受到启发。很多时候，同样的内容一开始读没什么感觉，或 是有关知识不够，或是兴趣点没有发生关联；可是过一段时间来看，会忽然觉得大有新意。 比方说吧，这本书我已拥有近两年了，但前几天再看第17章“一些未解决的问题”时，依然 为其谈论到的“曲率大于0的黎曼流形的拓扑结构”而吸引。先假定单连通和紧致性（前者 是为了省事儿，后者是因为非紧情形已解决）。作者先告诉我们，从对称空间理论可知，所 谓一秩的紧致对称空间都具有K>0的黎曼度量，并且可以列举出来。事实上不限于此，K>0的 紧单连通黎曼流形是“相当多的”。但它们有什么共同的拓扑结构呢？为了说明我们在这方 面的惊人的无知，作者指出，即便是“(S^2)╳(S^2)是否容有一个K>0的度量”这个Hopf早 已提出的问题我们也还没有解决。为了更好地理解以上问题，我们借助于Hodge理论可以看 出，如果M是一个紧致的、K>0的流形，则它的Betti数似乎“不可能太大”。这句话的确切 含义到Gromov的大文出来才明白。但他给出的上界与人们的直观相比还是太大。人们进一步 猜测：是否一定有第二Betti数<=1呢？…… 我为什么在这个时候对以上论述发生了兴趣呢？ 1）上半年我刚学过“齐性空间”,知道有关这类“好”的黎曼流形有很好的结构。伍鸿熙的 论述中提及Berger在1961年对正规齐性黎曼流形的分类和其他人的一些看上去很不可思议的 结果，当然让我很好奇。 2)最近我对Grassmann流形关心得比较多一点；特别的，(S^2)╳(S^2)就是四维欧氏空间中 二维定向子空间的全体。另外，8）它是一个很好的四维流形。关于它的几何自然是一个很 好的特殊问题。 3）我这个月在读Gromov一篇经典的论文（关于近复流形中的伪全纯曲线）。这也是第一次 拜读他的大作，对他很是敬畏。看到他在这里也有一个了不起的定理，自是十分亲切。 4)关于此时是否必有第二Betti数<=1的问题，在已知例子中答案都是肯定的；特别在 Kahler情形也对（经典的Frankel猜想——已被证明——的一个推论）。伍鸿熙说原来这个 猜测是“胡乱”的，并没有任何明显的理由让人相信曲率可以控制Betti数到这个地步。由 于我对复（Kahler）几何有浓厚兴趣，并且正在关心复几何与一般的实流形的几何的关系， 所以希望这个猜测是对的。 呵呵，有的理由不登大雅之堂，但作为一个读者，想必大家能够理解我。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:49am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（五） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:26:00 星期五) , 站内信件 下面应该谈谈伍鸿熙先生另外两本广为人知的书，一是《黎曼几何选讲》，二是《紧黎曼曲 面引论》。不过，两本我都没有钻研过，仅仅是平时乱翻翻，这里就当是向不熟悉者的一个 介绍吧。 《黎曼几何选讲》分五章，其中第三章“非紧非负曲率流形的结构”显然是紧接着《黎曼几 何初步》的线索（流形的曲率与拓扑的关系）而来的，主要讲Cheeger和Gromoll七十年代 初得到的有关结构定理，方法大体上是分析（次调和函数、（强）凸函数等等），这个工作 大概已成为一个经典结果。第五章“黎曼流形的收敛性”介绍Gromov七十年代末，八十年代 初开创的一个有趣方向：大范围黎曼流形——这里“大范围”是指考虑给定的一族黎曼流 形，研究这族黎曼流形之间的关系。相关结果包括两个收敛定理。这两个方向目前不在我的 兴趣范围之内，所以我就不多说什么了。 第一章“Hodge理论”，讲的自然是大名鼎鼎的Hodge定理喽。伍鸿熙先生把这个定理的意思 解释得很浅显：de-Rham上同调群里的每一个元素是一个陪集；借助于紧流形上一个（任意 的）黎曼度量，我们可以从每个陪集中挑出唯一的一个代表元——调和形式（注意：“调 和”性依赖于黎曼度量的选取）。——自然，Hodge定理有其它形式，但我觉得这个形式最 好理解，idea也很清楚。在《紧黎曼曲面引论》一书中，也有一章讲Hodge定理。两者我都 没有仔细读，不过证明的基本部分是一样的：利用Sobolev空间，借助于三个基本事实—— Garding不等式，正则化引理，Rellich引理。主要的知识是偏微分方程理论（作者说是几 何学内线性分析的一个初步介绍）。（我怀疑自己是不是永远也不会读完这个证明——偏微 分方程is not my favorate——尽管伍鸿熙的评述总是很吸引人。我相信他说的Hodge定理 在Kahler几何中有大用处，但是分析的证明会对我理解它的实质应用有帮助吗？） 第四章“Gauss-Bonnet定理”，主要是解释陈省身关于此定理的内蕴证明的想法，并借此 引入黎曼流形上标架丛和球丛的概念。众所周知，这一证明是陈先生最了不起的成就，其中 蕴涵的深刻思想与漂亮技巧都是无与伦比的，其影响也极为深远。（最近我们的几何课上就 在讲主丛及其上面的联络，并且会讲到这个工作，所以我想自己是会把这个证明弄懂的。） 第二章“和乐群”可能是作者最花心力的部分，作者也自认为是书中最重要的一章。首先解 释一下什么是和乐群。在m维流形M上引入一个联络，固定流形上一点p，任取从p点出发的闭 曲线，考虑沿此曲线的平行移动（由事先给定的联络决定），它给出p点处的切空间T(p)到 自身的一个线性同构——显然它与路径的取法有关。取遍所有以p为基点的闭曲线，由此得 到的T(p)上线性自同构的一个集合，它们实际上构成GL(R, m)(m阶非退化矩阵群)的一个子 群，称为流形M关于给定联络和基点p的和乐群（事实上容易证明它与基点的选取无关）。如 果流形上给定黎曼度量，并且就用它的Levi-civita联络，那么它的和乐群是正交群SO(m) 的一个子群。Elie-Cartan最早引入这个对象，并断言它在一般的黎曼流形理论中会扮演一 个重要角色；后来，陈省身又在1950年的国际数学家大会上的演讲中再次提请大家对这个概 念加以重视。为什么呢？我在这里引用伍鸿熙的看法： “……我们可以作这样的猜测：从Felix Klein的Erlangen Program（1871）开始，所有 的几何学家都向往用群论来了解几何学的可能途径。一般的黎曼流形的不变量（例如曲率、 测地线等等）都是和分析有关的，而和乐群是一个李群。更玄妙的是，这个李群的定义本身 已包含了流形上所有平移的信息。这自然使人想到，如果能够了解这个群就会与对流形的全 部了解相差不远了。特别是在1950年时，人们已开始重视李群，而且已充分了解到一般的代 数不变量（如同伦群、同调群等等）在拓扑学中是如何起决定性作用的。有了这个背景，自 然会联想到和乐群在黎曼几何中也可能有同等的重要性。” 目前，和乐群并不是一个很受人注目的方向。这主要是由于Berger的分类定理，使人们认识 到和乐群的可能类型是极其有限的，这大大减弱了它的重要性。尽管是这样，我的老板却仍 然认为和乐群是“好的数学”，并建议我的师兄师弟去搞懂——注意我老板本人的方向离这 东西是蛮远的。也许，他认为和乐群本身是个好概念，有关的一些结论也很优美，应该会在 将来的发展中起大作用？ 有关和乐群的书籍文献，除开伍鸿熙的这本以外，我所见到的还有A.Besse的Einstein Manifolds和Soloman的一本题目中带有holonomy group字样的书，但并没有细看。依我之 见，伍鸿熙的这一章仍然是推荐的首选（末尾还有丰富的参考文献）。当然，这还是一个看 热闹的门外汉的见地——我仅仅是觉得他那种谈论问题的口吻令人着迷！ 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:49am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——伍鸿熙篇（六） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:26:44 星期五) , 站内信件 关于《紧黎曼曲面引论》一书的内容，我现在不敢发表什么意见。本科时虽然跟着研究生听 过一次，以此书为课本，但几乎什么也不懂，感觉一脑门子浆糊。当时认为是讲课的老师水 平不行（一个博士后），现在看看也可能是书中谈到的东西太枝蔓（主观原因我就不找了， 嘿嘿）。此后我对这个主题一直还是很感兴趣，可惜也没有再好好念过，也没有与有关黎曼 曲面的其它经典课本进行比较（如GTM系列中的 no.81 (Forster)，no.71 (Farkas/Kra)，以及Gunning的书），就不好说什么话。但有一点我可以肯定，这本书中对 有关文献的大量点评和看法（尤其是每一章后面的注记），绝对是一笔财富。 这方面的例子举不胜举。为了省事，也与上文呼应，我就只举有关Hodge定理的一段评述 （见182页）： “最后我们应该提到一个读者可能觉得诧异的事实。在前面Griffiths-Harris的书曾被再 三极力推荐，但虽然它也有一个完全的Hodge定理证明，我们却没有提到这点。为什么呢？ 这件事关涉到我们对写书的基本态度，是值得一谈的。首先这一章主要是讨论椭圆算子□ 在紧的复流形上的性质，而不是讨论最一般的椭圆算子的基本定理，所以在节省篇幅方面这 点是很重要的。正因这样，我们对于介绍新概念的态度是‘可免则免’。所以我们给的 Hodge定理的证明，既不用广义函数，也不用富里哀变换。另一方面，我们也希望这个证明 能真正介绍给读者一些基本的分析工具，同时也能让读者窥偏微分方程的真面目，特别是微 分或积分不等式的证明和应用（例如Garding不等式和Sobolev不等式）。在这两个极端之 间要找一个‘两美俱备’的办法，自然是每个人见仁见智的问题。象很多事情一样，这是没 有绝对正确的路线可言的。” “现在我们应该指出，有一个简化过程将一般紧流形上椭圆算子的研究变成高维环面上椭圆 算子的研究。如所周知，后者的分析就是周期函数的分析，一切都可用富里哀级数来计算。 所以如用这简化过程，则只需用富里哀级数来定义Sobolev空间，然后也用它来证明一切的 定理。这样的做法，一方面读者几乎永远看不到微分和积分方面的计算，另一方面是所有的 证明是似乎特别快捷而优美的。这个方法Bers-John-Schechter书内165-189页有详细的讨 论，而且Griffiths-Harris用这方法来证明Hodge定理，Warner的书也用这方法来证明 Hodge定理。但我们舍弃这方面不用，因为我们觉得它的教育性不大。即是说，从我们的立 场来看，这与上述的第二点有过大的冲突。主要原因是这办法将偏微分方程这一小部分过分 美化和过分粉饰，结果使它尽失本来面目。如用这办法，则读者会片面了解Hodge定理的证 明。但对偏微分方程本身却可能茫然无知。我们宁愿读者先看这章的证明，以使他日有暇看 到这个富里哀级数的证明时，已经胸有成竹，知道怎样去接受这个取巧的证明方法了。” 正如作者对Narasimhan的书的评价，他本人的这本书同样“文笔简洁，态度严谨，而且每每 一针见血，是可以郑重推荐的书”。这并不意味着我就同意作者的全部观点（抬举自己了； 我对这些东西其实还没有自己的观点）。只是说，有一个人能对这么多书做出这样有特色的 评论，本身就已极不简单。无论你的观点如何，这本书你都是必须认真对待的；而无论它或 对或错，你都肯定能从与它的对话中获益。也许，相对于知识而言，伍鸿熙这本书更能影响 你的地方在于它的品位吧。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:49am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——项武义篇（上） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:27:57 星期五) , 站内信件 学习李群，我用的是项武义的《李群讲义》。我不清楚它究竟有多大影响。印象所及，似乎 好评不多。这里一位几何方面的老师提起它时，首先就说“错误很多”。北大研究生的“李 群”课程也通常不参考此书，而是用外国教材，而且很多时候偏于李代数及其表示。但我对 这本书的感觉还是很好的。主要恐怕是因为他有很多独特的看法和讲法。 在评价这本书时不可忘记，项武义本人是个几何学家，他对几何中的对称性很有心得，并且 在（作为几何对象的）李群方面有出色的工作。自然，他的写法就受到这个背景的强烈影 响。比如说此书一开头的引言中，他首先就从一个很高的高度出发，指出李群受人关注的原 因，在于一个基本现象，即数理结构有其内在对称性并在相当程度上被它决定。这方面的开 端是代数方程论里的Galois理论。后来Klein吸取群论观点，提出了Erlangen纲领，可以说 也是轰动一时。由历史观点出发，李群本来是几何与分析中自然出现的可微变换群，作为代 数结构与几何结构的自然结合，便有了丰富的结构和深刻的内容——注意，这种观点就暗含 着对纯粹代数或分析观点的舍弃。接下来，项武义指出有三种强有力的思路去研究李群： A)线性表示。这是Frobenius-Schur学派的方法。 B)李群结构的线性化——也就是相关联的李代数及两者之间的关系。这是Sophus Lie本人当年的奠基性工作（三个基本定理）。 C)伴随变换的几何。即伴随变换的轨几何（orbital geometry）。 对于前两项内容，项武义的处理是简洁而又单刀直入的，并不纠缠于细节问题。在建立了基 本的工具，保证足以处理伴随表示，又决定了SU(2)的不可约表示后，即进入全书最精彩的 第三章“伴随变换的几何”。其中最精华的有两点，一是他对极大子环群定理的证明，利用 了若干黎曼几何的基本事实，使得定理的成立有非常直观的理由；二是把对一般紧李群在伴 随变换下的轨几何的研讨，归结到已知的对SU(2)的轨几何的了解。这种几何味很浓的论 证，当时给了我很深的印象。（一位教李群的老师亲口对我说，他从来没有在别的书中见过 这样的讲法。） 第四章和第五章里，在通过令人眼花缭乱的论证得出有关紧半单李代数的分类定理，建立复 半单李代数的类似性质后，项武义特别指出（173页）：“紧半单李代数的复Cartan分解的 诸多特性中，比较深刻的部分都是应用SU(2)的复表示论加以推导的。……所以在这里对于 复半单李代数的Cartan分解的探讨中也自然要设法同样的运用SU(2)的复表示论，来论证它 也同样地具有那些深刻的性质……”这段话说明了此书讨论李群结构的一个基本切入口，那 就是每个紧（复半单）李群中都包含着许多具体而微的SU(2)(或其复化)，如同许多个切片 一样，因而对于SU(2)表示论的理解是基本的出发点（而把这些信息整合在一起就要靠对素 根系的几何的讨论，特别是Weyl群）。 项武义此书的一个小小特色是在不少大段论证前加有“分析”，解释其思路。我挺欣赏这一 点。但也有老师不以为然，说他“明白的废话”重复太多，而许多该说清的地方他却马虎过 去了，错漏尤其多。对后一点，我是深有感触。在我的研读过程中，常常要费很大的力气去 “debug”；印刷错误就一串，其它大大小小的疏漏也有三十处以上；有的地方至今不知如 何补足。当时自然是一边读一边叹气，事后回想，却正是因为这些错漏，才使得自己“不信 任”作者，好好地琢磨了许多问题。不然，我很可能就是“哦哦”地一眼扫过去了。这种 “大事不糊涂”的写法，也许更“instructive”。（伍鸿熙对Griffiths-Harris的 Principles of Algebraic Geometry有类似的评论：“……书中小错漏很多，但它最难得 的地方是极能把握要点，而且很清楚地告诉读者每个定理或概念的直观意义。”） 最近得知，本学期的“李群”课程用了项武义的这本书，可见金子总会发光，好货自有人 识。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:50am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——项武义篇（下） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:28:45 星期五) , 站内信件 其实我最早读到的项武义的书还不是《李群讲义》，而是他的另一本初等的几何书：《古典 几何学讲义》。当时我还是本科生。那本书里有很多给我留下深刻印象的说法。 他说，我们熟知的欧氏几何中的叠合公理（例如三角形全等的“SAS”(边角边)判则），实 际上是对空间对称性的刻画，是说空间有充分多的等距变换。特别的，罗巴切夫斯基几何以 及球面几何，只破坏了原来的平行公理，而三角形全等的性质并没变，这意味着三种几何有 一样的对称性，可以统一在同一种绝对几何学的框架里。这种说法到了后来学过黎曼几何中 的（n维）空间形式，知道它们是唯一的具有最大对称群（dim=n(n+1)/2）的黎曼流形后， 就更明白了。 另外他还说，从全等公理（或定理）到三角学（正弦定理、余弦定理），使得边角关系有效 能算，符合几何学从定性到定量的自然趋势；进一步到解析几何，更是使得整个几何学研讨 全面数量化。 他还特别评述了坐标变换在解析几何中的基本重要性（相近的意见他在《李群讲义》的第六 章第二节“变换群与古典几何”中又重新发表了一次）。第一是因为坐标只是人为选定用于 计算的参照物，本身不具有内在的几何意义，故任何有内在几何意义的事物与坐标选取无 关；反之，“一个和坐标系选取无关的事物也就具有内在的几何意义”。第二点是观察到， 坐标变换表明上看来是在搞“特殊化”，破坏空间的对称性，实际上又由于任意两个坐标居 于平等地位而恢复了匀齐性，“因此空间匀齐性在解析几何的研讨中的用法就在于灵活运用 坐标变换”。——事实上，这不过是Erlangen纲领在此情形的特例。 另外，那本书中介绍的最早用辗转相减（除）法发现不可公度量（实即无理数）的优美论 证，还有欧都克斯用穷竭法重建“相似形基本定理”的论证，都是极美好的。 回头说说项武义这个人，我见过他很多次了。主要是因为他常来北大讲演或参加学术会议。 有不少有意思的印象。 一是他讲演的风格，十分从容，让我听着很舒服。喜欢讲一点初等的东西或故事，蛮吸引 人。 二是他研究的主题、内容、方法，很有个人特色。大家都知道他这些年一直宣称自己解决了 Kepler的装球问题，但很少有人信服。很多人认为他误入歧途，不该去做这样“初等”、 “远离主流”的问题（据说批评者中包括陈省身先生以及他的弟弟项武忠）。可他很犟，认 为这个问题是重要的，大有意义的。这牵涉到他对几何研究的一个基本看法，那就是我们应 该重视那些实在的问题和对那些最基本而美好的空间的研究。看看他自己在《李群讲义》中 谈到对称空间时的一番话（193页）： “……黎曼流形的实例是非常繁复多样的，因此在研究黎曼几何学时，就特别要注意问题和 研讨范围的选择，力求做到恰到好处。例如在黎曼流形种种实例之中，上一节所介绍的常曲 率空间和本节所要讨论的对称空间，虽然都是十分特殊的实例，但是对于它们的几何性质的 研讨反而特别重要，因为它们是特别美好的黎曼流形，其结构自然地和数学的其它领域紧密 地联系在一起。其实，黎曼几何学研究的重点并不在于黎曼流形结构的一般性的讨论，而是 在于各种特殊的自然黎曼流形结构和种种基本的几何性质的研讨。” 正是基于这样的理由，项武义认为，象Kepler 关于packing problem的猜想，是有关我们 所身处的欧氏空间的基本事实，绝对值得弄清；并且这个问题又自然地和初等几何、对称群 （包括经典和例外李群）、最优化等联系在一起，由此可以加深我们对这些领域的理解…… 这些说法sounds very good，可惜我依然对装球问题不大感冒。相比较而言，倒是他另一 次有关三体问题的运动学（kinmatic）的演讲给我很深的印象。他有一些很好的想法，指出 问题的难点之一在于把原来过大的位形空间和对称群“化约”，使得问题简化。另外其中有 一些非常好玩的几何事实，让我大开眼界。我看到在去年的某一期国内期刊（名字忘了，反 正是最权威的一家，刚改版不久的）上发表了他的这样一篇论文，挺长，有兴趣的可以找来 看看。 我老板总是说，不要follow别人，要有自己的想法和兴趣，做自己的问题。在这方面，项武 义是一个好样板。数学大家看问题，总有自己的“几把刀”，作为他的切入口。项武义就总 是注意对称性对空间性质的影响。曾经有一次我代替我老板去机场接项先生，在小车上与他 聊了起来。我告诉他，我正在研究二维复射影空间（CP^2）中的几何（实际上是曲面论）。 他就提了两个问题。一是CP^2中的等周问题的解是什么？他猜想肯定是测地球（以最小的表 “面积”包围相同的体积）。二是CP^2中的三角形是什么？——确切地说，给定CP^2中的三 个点，两两可连三条测地线，那么以它们为边界的极小曲面是什么？他进一步解释了这两个 问题背后的着眼点，在于CP^2作为复空间形式，没有实空间形式那么多的对称性——比方 说，就不是过任意三点都有全测地子流形。它的不变量系统相应地也多一些，不但两个向量 X与Y间的夹角要考虑，而且JX与Y间的夹角（即X与Y之间的Kahler角，J是复结构）也要考 虑。那么很自然地要问，原来实空间形式中成立的一些基本事实，在复空间形式中又会怎么 样呢？我听了之后，频频点头，觉得有理。别看这两个问题似乎都很“初等”，它们确实告 诉了我们如何从一个基本的观点去理解特定空间的几何。他也启发我们，不必去玩弄各种花 哨的几何结构与名词术语，也不需言必称方程、公式，就可以自然地思考几何。 项武义先生有时让我觉得很好玩。那是在北大聘请他为客座教授的仪式上，他说自己第一次 来北大，是七十年代初中美关系刚解冻时，大陆还在闹文革。他不明就里，只是因为慕北大 之名，就拿着陈省身先生的推荐信到北大来访问，并且想做这里的教授。当时的校长好象是 周培源先生，刚巧一时不在，去井冈山了，几天后回来才接见了他。一见面，也不说别的， 就大骂国民党反动派当年如何如何残暴。项先生几次开不了口，莫名其妙，只好作罢。以后 周培源先生才对他解释说，当时有人在场，不便明白劝他别来，只好唱了一出戏。呵呵。 可惜更多的时候，我觉得他太“紧张”，过分专注于自己的主张和别人的承认。本来他应该 可以幽默一些的。比方说今年十月在南开召开的“纪念周炜良、陈国才国际会议”上，他的 报告安排在某天上午的最后一个，讲的还是他心爱的主题“装球问题”。时间早就过了预定 的一小时，他还没有一点结束的意思，依然滔滔不绝地在论述他的工作的特点、意义。大家 忍了又忍，会场里的气氛有点不大对头，直到一个洋妞嚷嚷了好几遍他才不得不打住。我觉 得他有些失态，又有些同情他——唉，学术上的承认真的这么“压”人？还是怀念Einstein 和陈省身先生都说起过的过去的好时光，悠然自得，纯粹处于学术兴趣，没有竞争职位的压 力——更没有SCI! 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:50am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——苏竞存篇（上） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:29:29 星期五) , 站内信件 一年多以前，当我在九章书店的书架上看到《流形上的拓扑学》时，我还没有听说过作者苏 竞存的名字。在那之后，也从来没有听到别人提起他或这本书。在我看来，这有些奇怪，也 很不公平。事实上，我相信这本书有着惊人的价值，对研究生来说尤其宝贵。 首先引人注意的是他的取材。以下这份二十章标题的清单，相信会给你很深的印象。 ——基本定义；切丛；矢量丛；流形上的微分学；Lie群；微分形式；积分；de Rham定理； 同调理论；上同调；Poincare对偶性；纤维丛通论；示性类；表示论通论；示性类续论； Hiezebruch指标定理；Laplace方程和Hodge理论；Riemann-Roch定理；Atiyah-Singer指 标定理；曲率和相关问题。 当初我买下这本书时，主要是因为其中涉及了众多我感兴趣的主题，而且他的写法看来不太 抽象，阐述和例子较多，对我尽快地理解这些东西会有帮助。 不过大家也很容易疑惑：一本书里要讲这么多东西，可能吗？的确，这本书虽然比较厚，但 与其涉猎面相比，似乎真是不成比例。这就牵涉到我下面要讲的第二点，即作者组织材料的 方式。看看作者自己的想法： “……拓扑学的许多入门书都是按所用的方法与工具来划分的，例如分为代数拓扑、微分拓 扑和微分几何等等。我有一个想法，即拓扑学中有重要性的中心问题当然是流形问题，应该 围绕着这个问题而不是围绕种种技巧来写一本讲义。这里所采用的计划就是如此。我们从光 滑流形的基本概念讲起，进而讨论各种专题，那时需要什么工具就介绍什么工具。这样，我 们从流形上的微积分开始，因为流形就是为了搞微积分而设计的。我们先讲导数的局部理 论。然后积分理论就导致一些整体性的东西，例如de Rham理论。为了解释它，我们开始建 造通常用到的同调与上同调工具，而最终以流形的同调理论的核心事实即Poincare对偶性结 束。虽然这些东西是真正基本的而且肯定是必不可少的，然而象许多入门书那样，要想讲清 楚它，通常是费劲而头痛的事。我想，如果选用一个比较实质性的主题作为最终的目标，则 读者不致陷入一大堆表面的知识而不知所终，这样在启发读者上可能是有好处的。虽然不乏 值得选择的问题，我觉得Atiyah-Singer指标定理是一个好的主题。主要是因为我觉得它最 好不过地说明了现代拓扑学对于微分方程的整体理论的用处…… “所以大家看到，我认为我的主要职责是一个收集者，同时花一些力量去组织这些材料。在 这样做的时候，我遵循一些以我个人的看法为基础的指导原则。首先，我觉得拓扑学应该是 几何而我就强调这一方面。其次，我认为拓扑学的现代发展，特别是它对其它领域的推动， 集中表现在整体方面，所以，只要有可能，我就力图指出这一点。此外，现代拓扑学的语言 可以是很细致很抽象的。我试图把一般性和抽象性保持在最低限度，仅仅是适合当前问题之 所需，而将种种可能的更一般的表述留待读者自学。再则，只要做得到，总是用一些例子来 引导出对某种工具的需要。……” 作者所采用的写法，本质上也就是一个人向别人解释某件事情时的做法。可以看到，作者那 种谈论的口吻贯串全书，甚至比伍鸿熙、项武义的书还要口语化，还要informal。他的风格 也极具魅力，总是用直截了当的方式谈起最初等的事实与问题，引出不平凡的现象，再讲如 何建立必需的概念和工具。由于他总是直指问题的核心，而把一切概念与体系上的修饰放到 一边，这就使得他可以用少得多的篇幅来谈一个理论建构中较为平凡和技巧性的事实、推论 和推广，而把注意力集中于思想（ideas）和重要而具体的特例。他决不只是泛泛的谈论， 而是拎出关节，说明什么是我们真正要做的，困难在什么地方，与其它情形的差别在哪里。 这种区分什么是要点、什么是平凡技术的能力，正是大家的标志。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:51am 发信人: symplectic (sound-of-silence), 信区: Mathematics 标 题: 好书自然经典——苏竞存篇（下） 发信站: 北大未名站 (2001年07月27日22:31:56 星期五) , 站内信件 “金针度人”这句老话，我是读了苏竞存的书以后才深有体会的。举点例子。 在Riemann-Roch定理一章里，为了说明构造Cech上同调层的想法，作者从关于亚纯函数的 基本事实——Mittag-Leffler定理讲起。这个单复变中的定理，本质上也是讲亚纯函数的 存在性；它不单是说复平面C上的亚纯函数“很多”，而且具体告诉我们，可以依我们所需 去“定制”亚纯函数（指定极点与主部），只需满足一些自然的限制。进一步地，它对C的 其它区域也成立（作者不失时机地指出，这必须另加论证，原因在于：和光滑范畴不同，对 整个C成立的事对开圆域不一定对，因为这两个域作为复流形不同构）。但一般地，它肯定 不对，比方任意环面上决不会有具单极点（一阶极点）的亚纯函数，否则它会给出环面到球 面的复同构，而这是不可能的。在给出一般Riemann面上Mittag-Leffler问题的提法并描述 了可能的途径后，作者评论到（555页）： “这样做事显然是劳而少功，另一方面它则是击中要害：我们有一些局部的东西而想把它们 拼成一个整体的东西。整个流形理论讲的就是这件事。能否成功取决于问题的性质。有些什 么困难也没有。例如我们看见过局部内积是怎样拼成Riemann度量，局部联络怎样拼成整体 联络，所用到的只是一的分割（即单位分解）。但是也有些东西不能简单地用一的分割来拼 合。例如，把局部定向拼成整体定向有时行有时不行。问题的解决有“障碍”，而现在就遇 到了障碍。这种描述障碍的方式在拓扑学中很常见……” 第一次读到这段话时，我感到了震撼。真的，流形这玩意，本科时我是一点不懂，硕士头一 年又把它看得很平凡：不就是局部“欧”吗？后来，老板指导我学着用局部标架法做子流形 几何时，我慢慢领会到，很多事情我们只能局部地去做（例如取正交标架，例如联络等几何 量的显式表示），再从中发现与标架选取无关的整体不变量，这才是好东西；而这又并不意 味着没必要选局部标架，不然你怎么表示那些几何量呢？先任意取定一个对象，再把选取的 不确定因素给“模（抹）”掉，全部把戏就在这里。我懂了这个想法后，感觉很美好。另 外，从那以后，我开始关心整体微分几何，留意各种几何量与拓扑量之间的关系。可直到看 见苏竞存的这段话，我才猛然醒悟，这些东西就是研究流形的要害所在。流形与纤维丛这些 东西，局部都是平凡的，有意思的好东西必然在于整体，难点也在于怎么描述整体（或者说 过渡到整体的‘障碍’）。而（上）同调理论正是适当的语言（之一）。 讲到这，又可以提一段苏竞存书中让我豁然开朗的话（第八章“de Rham定理”，184页）： “研究循环是不是边缘地方，这是所谓的同调理论。读者们可能已经熟悉同调理论的基本思 想。例如说，一般的解释是，T^2（环面）中有非边缘的循环S^1说明T^2有‘洞’，而S^2 （球面）中的循环S^1都是边缘表明S^2没有‘洞’。既然可以从图中看到究竟有没有洞，这 也就算不得什么深刻的观察。（——对呀。）然而应该看到，只是因为我们把T^2放在R^3 （三维欧氏空间）中，T^2上有洞才是显然的事。如果我们不管周围的R^3，那么怎样才能区 别T^2和S^2呢？（——哦……）即是说，我们需要一些内蕴的不变量，而不是嵌入的不变 量。所以，如果只看T^2本身而不问它是否包含在周围的空间之中，洞的这个概念还有没有 意义就不明显了。但是循环和边缘的概念显然是内蕴的（intrinsic）即只依赖于流形本 身，它可以用来对洞作内蕴的描述，（——啊！原来如此……）这是Poincare的深刻见地。 在这方面，指出下面的事实是很有用的。在几何和拓扑中把内蕴性质和嵌入性质区别开来是 极其重要的想法。（——这么一说我想起来了，曲面论……）例如曲率的概念。（——对 了，就是它！）如果看图，那么曲面是‘弯曲的’，这是很‘明白’的。但是把弯曲设想为 一个内蕴的概念，认为即使没有周围包含的空间（有了这样的空间才能走到曲面‘外面’去 看曲面）它仍然是有意义的，这就困难无比了。这正是相对论里关于‘弯曲’时空使人感到 神秘的原因。Gauss是第一个看出曲率的内蕴本性的人。（——对呀！Gauss的‘绝妙定 理’！！）这是现代微分几何的起点。无怪曲率、同调和积分都是彼此关联的。……” 看到这段话的那天早上我很激动，知道自己碰上了一点朴实而深刻的东西——Gauss的定理 对我来讲很熟悉，曲率只依赖于第一基本形式从而是内蕴量我也明白，但我从来没有想清楚 到苏竞存所讲的这个程度。而一旦点破，我马上看出来这个观念太重要了。“intrinsic” 及“global”恰恰是从我们本科学过的经典内容（数学分析及线性代数）过渡到现代（本世 纪）数学的观念上的“门槛”，也是贯串现代数学的主要线索。而这些东西，从来就没有人 明白向我们指出过。 苏竞存就厉害在这一点：许多我们学过的东西，尚未明白其实质，而他能三言两语揭穿，让 人有醍醐灌顶之感。比如说，本科时讲过欧氏空间里的Stokes定理，觉得很好；而在此之前 建立起来的“外微分形式”的概念，也很美满，可是又莫名其妙，不知道干嘛要这么做。后 来在北大的微分拓扑课上讲过流形上一般的Stokes公式的证明，当时只嫌麻烦，在看懂整体 积分的定义（特别是与局部积分区域和单位分解的无关性）后，就觉得差不离了。在看陈省 身的《微分几何讲义》时，对外代数似乎看明白了，但也还是觉得是“从天上掉下来的”。 为什么微分形式是必要的呢？仅仅是因为可以在流形上做这种构造（切丛的对偶丛及其外代 数）吗？苏竞存指明这是建立积分理论的需要，也就是说，微分形式是拿来作为被积式的。 为什么如此，看看苏竞存的解释（第六章“微分形式”，118页）： “……读者都知道，有好几种‘积分理论’。例如Lebesgue积分等等。也有好几种处理方 法，例如用测度理论或泛函分析等。我们不去管这些‘神奇’的理论，我们要介绍的积分就 是老的Riemann积分。并不是不能在流形上建立更一般的积分，而是由于在绝大多数时间， 我们的讨论对象都是光滑的，至少是连续的，所以用不到Riemann积分以外的积分。主要之 点不在于用什么理论，而在于什么是被积者，什么是积分区域？……” “我们也知道，在这个记号里‘微分’dx其实不代表什么。而只不过是一个形式的记号，它 告诉我们链法则，也就是换元法则在积分中的用法……” “在流形上总是要做变量变换，这不过是从一个坐标邻域变到另一个坐标邻域……从上面的 讨论看到，我们不能只是积分一个函数而是要积分这样一个对象，它会在变量变换时自动地 考虑到行列式法则。行列式的基本特征是：如果两行或两列对换时，它会变号，即是说它是 反对称的。处理反对称性的代数就是外代数，我们将要用到它。” 这么简单的一点东西可能对很多人来说是很平凡的。遗憾的是，我只在苏竞存的书里才看到 这样明了的解释。要点的确就在于我们很多人都曾百思不得其解的一个问题上：积分号内的 dx 到底是什么含义？我曾经以为是一个形式的记号，有时又把它看作是定积分中被求和的 微元的代号（或许也有人把它看作实数轴上Lebesgue测度的记号）。直到看了苏竞存的解 释，才明白是为了保证积分的结果与坐标的选取无关而引入的一个记号，它自动记录下换元 的效果；实质上它确实是某种测度，但用微分形式的语言更干净而便于处理（并且适用于不 定积分的情形，此时显然被积对象必须是一微分形式例如df才有可能与积分运算相抵消得出 原函数）。苏竞存在下一章“积分”的开头特别指明，流形上积分理论有两个要点，一是不 变性，即积分在坐标变换下的性态；第二是化约，即微积分的基本定理。这就把以前书本上 的一大堆做法都解释清楚了。特别地，我们由此回顾，就知道外形式及外微分完全是对应于 这两个要点的建构，前者的反称性对应于换元时的行列式法则，后者的dd=0对偶于链复形 （积分区域）的边缘算子性态，这样就“人为地”建立起de Rham上同调！ 对我来说，苏竞存的这本书是灵感的一个源泉。几乎每一次拿起它来，我都会为其中精彩的 解说诱惑（哪怕是我不懂的内容），并不时感到震撼。这种影响之大超过了其它的任何一本 书。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:51am 发信人: symplectic (愁容骑士), 信区: Mathematics 标 题: 数学信使专栏(二)(求根公式) 发信站: 北大未名站 (2003年03月04日07:47:13 星期二) , 站内信件 代数方程的求根公式，可以说是古典数学与现代数学的一个关键的联结点。 前两天还看到版面上有人问这方面的问题，呵呵，这次就来说一说。有关的 历史故事，比如塔塔利亚与别人的“数学比赛”，卡尔达诺的欺诈，可以参 看版面上的“一元三次方程的故事”。而阿贝尔和迦罗华的天才和悲剧，更 是脍炙人口，所以今天就不重复了。我们就接着他们的理论贡献来讲吧。 据我所知，迦罗华的关键思想，是考察一个多项式方程的根的置换，并定义 出一个相关联的概念：迦罗华群。对于一个五次方程，它可解(指用系数的 四则运算和根式运算来表示根)的充要条件，是其迦罗华群为 Frobenius 群 的一个子群。这个 Frobenius 群可以看作对称群 S^5 的一个子群，有20个 元素，通常记为F_20。它的子群有它自身 F_20，10阶二面体群 D_5，以及 5阶循环群 Z_5。相反的情形，其迦罗华群就是不可解的(这里的“可解”概 念是对于一个群来说的，可见抽象代数教材中的定义)，也就是交错群 A_5 或全对称群 S_5 之一。由于“几乎所有”的五次代数方程都以 S_5 为其 迦罗华群，所以一般就说“五次方程不可以根式求解”。更高次的情况，更是 这样。 以前大家所知道的，大概也就到此为止了。其实，那些可解的五次或更高次方 程，还是值得研究的。比方说，阿贝尔证明过一个定理，其大意是：椭圆函数 的 singular moduli，满足某些特定的代数方程，这些方程都是可解的。这 些 singular moduli 又有个等价的叫法：class invariants。那位传奇的 Ramanujan，就花了大量精力去计算它们的值。他算出了超过一百个这样的值， 不加证明地记录在他一篇论文和他著名的笔记本中。后人费了很大力气，才在 不久前全部加以证实。 正是为了求出这些 class invariant 的值，人们对这些可解的五次方程的 求根公式产生了兴趣。直到1991年，这公式才被 Dummit 得到。可是人们没 想到，在二十世纪上半叶，英国有位教授 Watson，已经系统地研究了前人在 这个问题上的工作，并给出了实用的计算方法。(实用是说，你拿一个具体的 方程来，他可以马上解给你看，可不是数值求解的意思。)他去剑桥大学作了 一次以此为主题的讲演，讲演的手稿没有发表。直到 1995年，人们才在伯明 翰大学图书馆一个珍本图书室的两只盒子里，发现了这些笔记。发现者 Berndt 教授等人，也是有关领域的专家。他们特意整理了这份讲演笔记，并从现在的 观点加上详细的注记，发表在 2002第4期的 Mathematical Intelligencer 上。网络版可见于以下网址： http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/watsonlecture.pdf 我读这篇文章的一个收获，就是对开头所说问题的实质有了一点真正的理解。 Watson 的讲演进入正题后，首先回顾低次方程的求根公式，指出它们之所以 能够“代数地”求解，是因为我们可以取这些根的某些特定形式的非对称函数， 它们的特定方幂所取到的值，少于方程的次数。拿二次方程来说，设它的两个 根为a,b，它们的差有两个--- a-b 和 b-a，但平方后就只有一个了： (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab， 而这个量可以用原方程的系数有理表出。于是只需要作一次开方，我们就可以 求出两个根的差；再与 a+b 联立，立即得到求根公式。 再看三次方程，设其根分别为 a,b,c。又设 1 的三次单位根为 w。我们可以 构造以下六个表达式 a+bw+cw^2, b+cw+aw^2, c+aw+bw^2, a+bw^2+cw, b+cw^2+aw, c+aw^2+bw, 它们的立方却只取两个值 (a+bw+cw^2)^3， (a+bw^2+cw)^3。 最后这两个量是一个二次方程的根，方程的系数是原方程系数的有理函数。 (大家可以自己算一下。需要的话可以参看原文献。) 对于四次方程，设其根分别为 a,b,c,d。我们取形如 ab+cd, ac+bd, ad+bc 这种形式的表达式。尽管四次对称群在这四个根上可以作用，但这种表达式 却只有三个。它们又满足一个三次方程，新方程的系数可用原方程系数的有理 函数表达。化归到这一步，原问题已经基本解决了。 再下去，就是同样思路在五次方程情形的运用了。当然，这不会是很平凡的。 文章(包括注记)中有许多关于置换群的性质的有趣讨论，对代数有兴趣的同学 颇可以一看。文章中照原样引用了 Watson 的记号、算法和一些图表，另外给 出了几个具体求解的例子。特别地，Watson 当作一个玩笑，提到 Ramanujan 曾经在 Journal of Indian Mathematical Society 上面抛出以下问题： 证明方程 x^6 -x^3 +x^2 +2x -1 = 0 的根可用根式表出。 这个方程左边可以约去一个因式 x+1，化为五次方程 x^5 -x^4 +x^3 -2x^2 +3x -1 = 0。 Watson 解答了这个问题，发表于同一杂志上。有点意思的是，后来居然又有个 数学家，很着急地要求这个方程的解。他便说明了这后面的背景，跟椭圆函数 和 -79 的平方根有关什么的。最后，他对 Ramanujan 干嘛要乘上一个 x+1 感到奇怪，猜测他是不是无聊... 最后提个小问题： 作者在有关推导中用到以下事实：设 w 是 1 的五次单位根，则 w -w^2 -w^3 +w^4 = \sqrt(5)。 右边是5的平方根。你能给一个尽量简单的证明吗？ (特别地，用三角恒等式，它可以归结为求证 cos(Pi/5)+cos(2Pi/5)=\sqrt(5)/2。) 类似地，设 u 是 1 的七次单位根，求证 u +u^2 -u^3 +u^4 -u^5 -u^6 = \sqrt(-7)。 平方根取在上半平面。 (特别地，求证 sin(2Pi/7)+sin(4Pi/7)-sin(6Pi/7)=\sqrt(7)/2。) 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:52am 发信人: symplectic (诗亡然后春秋作), 信区: Mathematics 标 题: Re: 数学信使专栏(二)(求根公式) 发信站: 北大未名站 (2003年04月02日06:18:17 星期三) , 站内信件 前文最后，我出了个问题，求证 w -w^2 -w^3 +w^4 = \sqrt(5)， 其中 w 是 1 的五次单位根。最简单的做法，就是直接拿左边平方，利用 w^5=1 和 w +w^2 +w^3 +w^4 =-1， 化简后得到5。平方根的正负号可以根据几何图像来确定。 即使想到这个，你也许以为就算完了。可是，你不妨多想想：这个恒等式可解释为 某些特殊角的三角函数的求和，而这种问题通常都需要比较高度的技巧。现在我们 用复数恰好可以解出，仅仅是碰巧呢，还是有更多的价值？嗯，想到这些，你就是 个有心人了。回过头来看，原式左边为什么要取这种形式的交错和呢？也是个问题！ 试着改一个符号，算算 w +w^2 -w^3 -w^4 的值，会怎么样？ 前面的做法就是直接平方，这里依样画葫芦，就得到 (w +w^2 -w^3 -w^4)^2 = ... = -5 -2(w -w^2 -w^3 +w^4) = -5 -2\sqrt(5). 更进一步，我们有 (w +w^2 +w^3 -w^4)^2 = ... = -1 -2(w +w^2 -w^3 -w^4) 利用前面的结果，w +w^2 +w^3 -w^4 显然也可以表示为一个多重根式的形式。 其实，只利用 w -w^2 -w^3 +w^4 = \sqrt(5) 和 w +w^2 +w^3 +w^4 =-1， 我们就已经可以求出五次单位根的余弦。所以后面这些计算，你可能认为是浪费 精力。但是，我当初注意到这些事实后，却似乎还想到了什么。 这里，和式 w +w^2 +w^3 +w^4 中各项，分别按特定规律取正负号再相加，其 结果可以表示为根式，这立即让我联想到：和式中各项，对应的其实是正五边形 的顶点；而它们的求和可以用二次根式表出，恰恰意味着正五边形可以用尺规作出。 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:52am 发信人: symplectic (诗亡然后春秋作), 信区: Mathematics 标 题: Re: 数学信使专栏(二)(求根公式) 发信站: 北大未名站 (2003年04月02日07:44:40 星期三) , 站内信件 谈到尺规作图，大家一定都听说过古典几何里的三大难题 ---化圆为方问题 ---倍立方问题 ---三等分任意角问题 这些问题的困难之处，在于要求是尺规作图(如果允许其它工具的话，那么有人 发明了一种简单工具，可以很容易地三等分任意角)。它们从古希腊时期流传下来， 一直折磨了大家上千年，直到近代才被证明是不可能做到的。这个“不可能性”的 证明，也可以说是基于“求根”的思想。用我的话来不严格地叙述一下，其基本 结论是： “某个长度或某个点可以用尺规作出，当且仅当此长度 或相关坐标可以表示为已知量的多重二次根式的形式。” 这里面的道理，泛泛说来也不复杂。尺规作图，本质上是利用“交轨法”，也即作 相交的直线和圆弧以求交点。从解析几何观点来看，直线方程是一次的，圆的方程 是二次的，因此每个交点坐标都是某个一次或二次方程的根，而这个方程的系数是 某些已知量。根据求根公式(呵呵，太 trivial 了一点)，自然知道新点的坐标是 已知量作四则运算和开方运算得出的。至于这个条件的充分性，也是显然的吧。 用这个准则，并不足以马上得知那三大作图难题的不可能性。比方说，前一个问题， 牵涉到 Pi 是超越数的事实，而这直到19世纪后期才被证明。后两个问题，则涉及 立方根。直观上看来，立方根确实和平方根有“本质的不同”，但这当中的道理， 还非得学了抽象代数才能弄清楚。 话说回来，对正五边形，我们得知了尺规作图的能行性。那一般情形呢？下一个非 平凡的情形是正七边形。我上次提的问题正好是： “设 u 是 1 的七次单位根，求证 u +u^2 -u^3 +u^4 -u^5 -u^6 = \sqrt(-7)。” 证明方法跟五次单位根的类似，也是作平方后各项相消。 记忆中，我应该是在高中先碰到过三角恒等式 sin(Pi/7) +sin(2Pi/7) +sin(4Pi/7) = \sqrt(7)/2。 证明过程不记得了，无非是和差化积吧。印象鲜明的，倒是这些角度的某种规律性。 很容易注意到的一点是 1，2，4 构成等比数列。再往下呢？应该是8，但现在等于 是模7同余，所以又得到 1。剩下的项呢，3，5，6，跟前者互补，而且补得很精巧， 正好相当于同余类 -1，-2，-4。 喜欢玩弄数字又懂点数论的朋友，还会进一步指出，1，2，4 正好是关于 7 的二次 剩余类(它们分别是1，3，2 的平方模 7 的余数)；而剩下三个是“二次非剩余”。 这些巧合，看起来很有意思，很奥妙，很神秘---但我当时并不懂。 在那之前，我曾经由于上课无聊，拿数字来玩些把戏。其中之一是考虑 2 的乘方 序列，同时拿去模掉某个素数，比如11。这样得到的是 1，2，4，8，5，10(= -1)， ...。换一个素数 13，结果还是把各个同余类“遍历”了一次。如果拿 17 来呢， 结果是 1，2，4，8，16，15，13，9，1... 只走过了一半的元素。如果把底数 2 换成别的数，比如 3 呢？很快，我就发现... 呵呵，发现了在初等数论中称为 “原根”的东西。这个游戏给我印象很深，可惜当时没人告诉我那里的背景。不管 怎么说吧，至少后来我看到 Pi/7，2Pi/7，4Pi/7 这种形式的东西时，已经很容易 感受到里面的某种“韵律”了。 再次言归正传，我们已经找到一个很好的“组合”：“1+2-3+4-5-6”----这个缩写 表示各个乘方项在求和时的符号。回忆在五次方根的情形，继“1-2-3+4”之后，我们 还跟着发现了“1+2-3-4”和“1+2+3-4”这样的组合，它们可以用前头的组合“变” 出来。在七次单位根的时候，有没有其它类似的组合呢？我试了试，结果很失望。 但我的失望只持续了一两秒。因为我马上就明白过来，这与“正七边形不能用尺规 作出”应该是一致的。随即，我联想到以前听说过的更多的东西：高斯的正十七边形， 还有他著名的结论-- 若 p 是素数，则正 p 边形可用尺规作出的充分必要条件是 p 为 Fermat 素数。嗯，我好象是初中时就看科普杂志上介绍过前者，说可以归结为 求 17 次单位根的余弦。当时也不知那文章的作者怎么弄的，好象是一大堆三角公式， 繁得很。现在我有了复数和前面的 idea，岂不是也可以试一下，看会不会更简单吗？ 呵呵，今天没时间了，先说到这里。顺便提一下，高斯作出关于正 17 边形的发现时， 还是十几岁的少年。他在整整两百零七年以前，1796年 3月 30日 的日记里，记下了 这个结果。显然他非常高兴。据说，正是这个成功，使得他下了决心要做一个数学家。 admire... 顶部 gauss 发表于： 2003/09/27 08:52am [这个贴子最后由gauss在 2003/12/27 04:33pm 编辑] 发信人: symplectic (思君不见君), 信区: Mathematics 标 题: Re: 数学信使专栏(二)(求根公式) 发信站: 北大未名站 (2003年04月03日04:06:32 星期四) , 站内信件 当我开始考虑求 17 次单位根的余弦时，我的基本想法，就是推广前面所说的有关五次 和七次单位根的那些“组合”性质。注意到 17-1=2^4，类似于七次单位根的情形，取 1，2，4，8，16，15，13，9。 它们是 2^k 模17 的余数，也是关于 17 的全体二次剩余。令 w 为 17次单位根，幅角 为 2Pi/17。令 b= w +w^2 -w^3 +w^4 -w^5 -w^6 -w^7 +w^8 +w^9 -w^10 -w^11 -w^12 +w^13 -w^14 +w^15 +w^16 为方便记，类似这种形式的求和，我们简写成 (1+2-3+4-5-6-7+8+9-10-11-12+13-14+15+16)。 计算可知 b^2 = 17。 如果记这全部16项的和(取正号)为 a，则由 a=-1，b=\sqrt(17) 联立，可以解得 c=(1+2+4+8+9+13+15+16) d=(3+5+6+7+10+11+12+14) 这两个和式的数值。 再往下，受有关五次单位根的计算的启发，我想到应该把 c 和 d 这两个和式中的 各自八项进一步分拆。而分拆的根据是现成的。事实上，3 是模 17 的一个原根， 而 c，d 分别是乘方 3^k 中当 k 分别为奇数和偶数时产生的各项。下一步自然是 考虑按 k 模 4 的余数来分拆： e=(1+4+13+16)， f=(2+8+9+15)， g=(3+5+12+14)， h=(6+7+10+11)。 计算一下，恰好又有 (e-f)^2 = 8-c，(g-h)^2 = 8-d。利用 e+f=c 和 g+h=d 的值，又可以求出这四个和式的值。接下去，再令 u=(1-4-13+16), 计算得 u^2 = 4+f-2g。 这样，我们很容易就求得了 2*cos(2Pi/17)= (w+w^16) 的值。由于过程中每个 表达式都是二次根式，所以尺规作正十七边形的可行性也就很明显了。 回头去看看七次单位根 u。设其余弦的两倍为 t，t=u+u^6，则容易得知它满足 恒等式(多项式方程) t^3 +t^2 -2t -1 = 0。 根据根与系数的关系(韦达定理)写开来，就是我们见识过的几个三角恒等式： cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(6Pi/7) = -1/2， cos(2Pi/7)*cos(4Pi/7) + cos(6Pi/7)*cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7)*cos(6Pi/7) = -1/2， cos(2Pi/7)*cos(4Pi/7)*cos(6Pi/7) = 1/8。 由于它们必须用三次根式才能解，所以不能用尺规作出。 发信人: symplectic (思君不见君), 信区: Mathematics 标 题: Re: 数学信使专栏(二)(求根公式) 发信站: 北大未名站 (2003年04月03日05:22:21 星期四) , 站内信件 注记、问题和参考文献： 一，在 Mathematical Intelligencer 1999年第一期(Vol.21, No.1)上， 正好也有一篇相关的文章，题目是 The simple and straightforward construction of the regular 257-gon。其中解释了这个问题的历史， 域的代数扩张和一点 Galois 理论，以及在正 257 边形这个特殊情况下涉及的 一些具体事实和计算。你可以把这当作一个复习初等数论和了解近世代数的好机会。 作者用 Maple 来辅助作了些计算，但最后补充了一些 remarks，说明如何用数学 观点来简单得出相应结果。他的做法与我本质上是一样的。 二，我首先发现了有关正17边形的这些计算结果，然后才读到上面这篇文章。根据 那里的解释，我们回头来看，就知道，取 t=w^3，则 t 是正十七边形各顶点作为 复数构成的循环群的一个生成元。我所描述的拆分和计算过程，其实就是不断把 t^2,t^4,t^8 添入有理数域的一个扩张过程，所谓二次扩张吧。要求这个过程可以 完成，就自然要求原素数必须是 Fermat 素数的形式。这解释了一般情形的结果。 (高斯断言说这个条件是充分且必要的，并说他可以严格证明。但完整的证明是 Wantzel 于 1837 年发表的。) 另外，t^(3^2k) = t^(9^k)，这与 t^(2^k) 形式的项一致，自然是二次剩余， 于是又解释了在七次单位根情形我发现过的“巧合”。 三，我以前在一本有关数学竞赛的小书上看到一个说法，说 sin(kx)/sin(x) 可以 表示为关于 cos(x) 的 k-1 次多项式，而这个多项式最早为高斯研究过，他用递归 的形式来定义这些多项式(根据三角恒等式 sin... + sin... = 2 sin...cos...) 云云。根据我现在的揣测，他无疑是为了研究正多边形的尺规作图而研究这些东西的。 设 k 为奇数，则 x 为 k 次单位根的幅角(或相差一负号)，当且仅当 sin(kx)=0， 当且仅当 cos(x) 满足对应的代数(多项式)方程。因此，要求解这样的 cos(x)，也 就一变而为研究代数方程的根。 在这里我顺便想到了一个问题。比如求7次单位根，我们看出需要求解一个有理 系数三次方程，这时倒是有求根公式可以用。如果是 11次单位根或 23次单位根呢？ 那岂不是要求解5次甚至11次代数方程了吗？固然，对一般的高次方程没有求根公式， 但在这个特殊情形下会不会正好总是有呢？或者只要用根式表示出来就行。这里牵涉 到的背景就是所谓“分圆域”吧。对此我没什么了解，希望有谁能讲一讲。 四，版面上曾经有人问过用尺规作正17边形的办法，homology 给了个回答，可以 参看版面上362 文。他说代换“x+1/x=y”就是Gauss当年的想法，对此我有点怀疑。 高斯应该有更一般的方法和观点吧。其实考察前面的做法，我们可以发现某些对称性 起了关键的作用。这本来是引导至 Galois 理论的一个机会，不知道为什么高斯没有 深入下去。(我对高斯的日记、笔记和后人的相关数学史研究不了解，所以这里的话 仅仅表明我不知道而已，未必说明高斯没有相关的理论研究。) 五，相关文献，我建议看注记一中提到的那篇文章末尾的 references。特别地，可以 看他推荐的 G.Martin, Geometric Constructions, New York:Spinger-Verlag(1998). I.Stewart, Galois Theory, 2nd edition, London:Chapman & Hall(1989).